Colisión elástica en dos dimensiones

Supongamos una partícula con masa$m_1$y velocidad$v_{1i}$sufre una colisión elástica con una partícula estacionaria de masa$m_2$. Después de la colisión, partícula de masa$m_1$se mueve con velocidad$v_{1f}$en una dirección de ángulo$\theta$por encima de la línea que se movía previamente. partícula con masa$m_2$se mueve con velocidad$v_{2f}$en una dirección de ángulo$\phi$debajo de la línea qué partícula con masa$m_1$se mudaba anteriormente. Usando ecuaciones para la conservación de la cantidad de movimiento y la energía cinética, ¿cómo podemos probar estas dos ecuaciones?

$\frac{v_{1f}}{v_{1i}}=\frac{m_1}{m_1+m_2}[\cos \theta \pm \sqrt{\cos^2 \theta - \frac{m_1^2-m_2^2}{m_1^2}}]$

y

$\frac{\tan(\theta +\phi)}{\tan(\phi)}=\frac{m_1+m_2}{m_1-m_2}$?

EDITAR. Esto es lo que he hecho:

Para el primero, establezca el$xy$sistema de coordenadas de modo que la dirección positiva del$x$el eje apunta hacia la trayectoria original de la partícula con masa$m_1$. Entonces tenemos tres ecuaciones:

$m_1v_{1i}=m_1v_{1f}\cos \theta + m_2v_{2f} \cos \phi$

$0=m_1v_{1f}\sin \theta - m_2v_{2f}\sin \phi$

$m_1v_{1i}^2=m_1v_{1f}^2+m_2v_{2f}^2$.

De la segunda obtenemos:

$v_{2f}=\frac{m_1v_{1f}\sin \theta}{m_2 \sin \phi}$

Graficando esto en la tercera ecuación, obtenemos

$v_{1i}^2=v_{1f}^2(1+\frac{m_1 \sin^2 \theta}{m_2 \sin^2 \phi})$(1)

De la primera ecuación tenemos

$\cos \phi =\frac{m_1(v_{1i}-v_{1f}\cos \theta)}{m_2v_{2f}}$

que después de aplicar la ecuación que tenemos para$v_2f$se convierte

$\sin^2 \phi = \frac{1}{1+\frac{(v_{1i}-v_{1f}\cos \theta)^2}{\sin^2 \theta \times v_1f^2}}$

Trazar esto en la ecuación (1), nos da una ecuación en términos de$m_1$,$m_2$,$v_{1f}$,$v_{1i}$y$\theta$, pero está demasiado lejos de lo que esperaba.

Para el segundo, asignar el$xy$coordinar de manera que la dirección positiva de la$x$el eje apunta hacia la trayectoria final de la partícula$m_2$, nos dará tres ecuaciones (dos para la conservación del momento lineal y una para la conservación de la energía cinética), pero no sé qué hacer a continuación.