Carga en una bola en capas

Una bola (radio R ) tiene tres capas. Para 0 < r < a es un conductor con carga libre + q . Para a < r < b es un dielectrico lineal ϵ con carga gratuita incrustada en él con densidad ρ F r mi mi ( r ) = ( ρ 0 a 2 ) r 2 . De b < r < R es un conductor de nuevo con cierta cantidad de carga q que hace desaparecer el campo para r < R . Se supone que yo:

  1. Encuentra la polarización PAG → en el dieléctrico
  2. Encuentre la densidad de carga de volumen ligado en el dieléctrico
  3. Encuentre densidades de superficie libre y ligada en cada superficie r = a , b , R

Entonces intenté usar la ley de Gauss aquí con una esfera de radio a < r < b como mi superficie para conseguir PAG → :

∮ D → ⋅ d A → = q F r mi mi + ∫ a r ρ F r mi mi d r
D = q + ρ 0 3 a 2 ( r 3 − a 3 ) 4 π r 2

Usando D → = mi → ε y PAG → = ε 0 x mi mi → y ρ b = − ∇ ⋅ PAG → Calculé:

PAG → = ε 0 x mi q 4 π ε r 2 + ε 0 x mi ρ 0 12 π ε ( r a 2 − a r 2 ) r ^
ρ b = ε 0 x mi 2 π ε ( q 2 r 2 − ρ 0 r 3 a 2 + ρ 0 6 r 2 )

Dos preguntas:

  1. ¿Está bien?

  2. ¿Cómo uso eso para calcular las densidades de carga superficial? σ b y σ F para cada superficie?

Respuestas (1)

El valor de ρ b Es incorrecto. Verifica la fórmula que estás usando.

Usar norte → ⋅   ( D o tu t → − D i norte → ) = σ F

norte → ⋅   ( PAG o tu t → − PAG i norte → ) = σ b

En las superficies respectivas.

Si, lo siento, r 1 fue un error tipográfico al ingresar la pregunta. lo cambiaré
Veo. yo estaba usando ∇ ⋅ PAG → = 1 r ∂ ∂ r ( r PAG → ) pero debería ser ∇ ⋅ PAG → = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 PAG → ) realmente ρ b = − ε 0 x mi ρ 0 r 2 4 π ε a 2
si eso es correcto
Carga en una bola en capas
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