Campos Eléctricos Inducidos y Ley de Faraday

Soy estudiante de pregrado y acabamos de hablar sobre la ley de Faraday. Sin embargo, todavía estoy confundido conceptualmente sobre algunas cosas:

1. La ley de Faraday establece que$\oint_{\partial\Sigma} \vec{E} \cdot \vec{dl} = -\frac{d}{dt} \int_\Sigma \vec{B} \cdot \vec{dA}$. Lo que interpreto que es esto es que elegimos un bucle$\partial \Sigma$y una superficie$\Sigma$unida por esta espira, determine la tasa de cambio del flujo magnético a través de esta superficie, y esto es igual a la integral de línea de la izquierda. Sin embargo, ¿qué requiere que la tasa de cambio del flujo a través de cada superficie unida por este bucle sea la misma? Considere un escenario en el que tengo un campo magnético que cambia a medida que$|B| \propto \frac{1}{t}$en cierta región, y se cae como$\frac{1}{t^2}$en todos lados; entonces, si tengo un bucle completamente dentro de la primera región, puedo elegir una superficie completamente dentro de esta primera región, o puedo elegir una que sea lo suficientemente grande como para abarcar ambas. Intuitivamente, no puedo ver cómo$\frac{\partial B}{\partial t}$y, por lo tanto, el cambio de velocidad del flujo es el mismo en ambos casos. Por lo tanto, espero que el lado izquierdo sea diferente, lo que no puede ser porque no ha cambiado.
2. Aprendimos en clase que la dirección en la que integramos alrededor del bucle, es decir, la dirección de$\vec{dl}$es tal que forma un sistema de mano derecha con$\vec{dA}$(Aquí es donde la superficie elegida es uniforme para que la$\vec{dA}$apunta uniformemente en la misma dirección.) ¿Qué pasa si elijo en su lugar mi superficie no uniformemente para que mi$\vec{dA}$los vectores apuntan en todo tipo de direcciones? Entonces (conceptualmente) ¿cómo arreglaría la dirección de$\vec{dl}$?

Realmente no cubrimos las formas diferenciales de las leyes en mi curso, así que realmente no sé si hay una respuesta allí. Solo estoy buscando información física más que nada.

Gracias por cualquier ayuda. =)