Campos auxiliares en supersimetría

La existencia de campos auxiliares puede estar motivada de dos maneras diferentes (pero relacionadas) que conozco. El primero es usar el superespacio. Los supercampos son funciones de posición y dos variables de Grassman. Los campos auxiliares son términos necesarios para garantizar que un supercampo siga siendo un supercampo bajo transformaciones SUSY.

La segunda forma de motivar campos auxiliares es como un método para garantizar que una teoría clásica permanezca supersimétrica cuando se cuantifica. Para ver cómo funciona esto, considere la teoría SUSY más simple e ingenua (tenga en cuenta que la mayor parte de esta discusión se deriva de las notas de Steve Martin ),

$$\begin{equation} {\cal L} = \underbrace{ \partial _\mu \phi ^\dagger \partial ^\mu\phi} _{ {\cal L} _{ scal}} \underbrace{ - i \psi ^\dagger \bar{\sigma} ^\mu \partial _\mu \psi } _{ {\cal L} _{ ferm}} \end{equation}$$ donde $\phi$es un escalar y $\psi$es un fermión de Weyl. Suponemos que no sabemos nada pero queremos introducir una simetría que convierte los bosones en fermiones y viceversa.

Considere una transformación SUSY parametrizada por$\epsilon ^\alpha$. Dado que SUSY transforma bosones en fermiones, es fácil adivinar la ley de transformación,

$$\begin{align} & \delta \phi = \epsilon \psi \\ & \delta \phi ^\dagger = \epsilon ^\dagger \psi ^\dagger \end{align}$$ Con esto tenemos, $$\begin{equation} \delta {\cal L} _{ scal} = - \epsilon \partial ^\mu \psi \partial _\mu \phi ^\dagger - \epsilon ^\dagger \partial _\mu \psi ^\dagger \partial ^\mu \phi \end{equation}$$

Para encontrar las transformaciones de fermiones, encontramos la variación lagrangiana bajo una transformación SUSY y la igualamos a cero:

$$\begin{equation} 0 = \delta {\cal L} = \frac{ \partial {\cal L} _{ ferm}}{ \partial \partial _\mu \psi } \delta \partial _\mu \psi + \frac{ \partial {\cal L} _{ ferm} }{ \partial \psi ^\dagger } \delta \psi ^\dagger - \epsilon \partial ^\mu \psi \partial _\mu \phi ^\dagger - \epsilon ^\dagger \partial _\mu \psi ^\dagger \partial ^\mu \phi \end{equation}$$ Es sencillo mostrar que para que esto sea cancelado por el cambio en el fermión Lagrangiano, $\delta {\cal L} _{ ferm}$nosotros necesitamos, $$\begin{align} & \delta \psi _\alpha = - i ( \sigma ^\mu \epsilon ^\dagger ) _\alpha \partial _\mu \phi \\ & \delta \psi _{ \dot{\alpha} } ^\dagger = i ( \epsilon \sigma ^\mu ) _{\dot{\alpha}} \partial _\mu \phi ^\dagger \end{align}$$

Diseñamos nuestra teoría para que sea exitosamente invariante bajo una sola transformación SUSY. Si los generadores SUSY combinados con los generadores de Poincaré forman un álgebra, entonces un conmutador de las transformaciones SUSY debería dar como resultado una combinación lineal de los generadores de Poincaré+SUSY. Esto solo significa que representan a un grupo. Además, el conmutador debe ser independiente del estado en el que actúa.

Primero consideramos el conmutador de campo escalar,

$$\begin{align} \delta _{ \epsilon _2 } \left( \delta _{ \epsilon _1 } \phi \right) - \delta _{ \epsilon _1 } \left( \delta _{ \epsilon _2 } \phi \right) & = \delta _{ \epsilon _2 } \left( \epsilon _1 ^\alpha \psi _\alpha \right) - \delta _{ \epsilon _2 } \left( \epsilon _2 ^\alpha \psi _\alpha \right) \\ & = \epsilon _1 ^\alpha \left( - i ( \sigma ^\mu \epsilon _2 ^\dagger \right) _\alpha \partial _\mu \phi - \epsilon _2 ^\alpha \left( - i \left( \sigma ^\mu \epsilon _1 ^\dagger \right) _\alpha \partial _\mu \phi \right) \\ & = \left( \epsilon _2 \sigma ^\mu \epsilon _1 ^\dagger - \epsilon _1 \sigma ^\mu \epsilon _2 ^\dagger \right) \underbrace{ i \partial _\mu} _{ {\cal P} _\mu } \phi \end{align}$$

Ahora necesitamos obtener el mismo resultado actuando sobre un fermión:

$$\begin{align} \delta _{ \epsilon _2 } \left( \delta _{ \epsilon _1 } \psi \right) - \delta _{ \epsilon _1 } \left( \delta _{ \epsilon _2 } \psi \right) & = \delta _{ \epsilon _2 } \left( - i ( \sigma ^\mu \epsilon _1 ^\dagger ) _\alpha \partial _\mu \phi \right) - \delta _{ \epsilon _1 } \left( - i ( \sigma ^\mu \epsilon _2 ^\dagger ) _\alpha \partial _\mu \phi \right) \\ & = \left[ \left( \epsilon _2 \sigma ^\mu \epsilon _1 \right) - \left( \epsilon _1 \sigma ^\mu \epsilon _2 \right) \right] {\cal P} _\mu \psi - i \epsilon _{ 2 \alpha } \left( \partial _\mu \psi \sigma ^\mu \epsilon _1 \right) - \epsilon _{ 1 \alpha } \left( \partial _\mu \psi \sigma ^\mu \epsilon _2 \right) \end{align}$$ Esto no parece ser igual al conmutador de arriba. Sin embargo, las ecuaciones de movimiento de esta teoría son, $$\begin{align} &\partial ^\mu \sigma ^\mu \psi = 0 \\ \Rightarrow &\partial _\mu \psi \sigma ^\mu = 0 \end{align}$$ por lo tanto, en el caparazón, el conmutador es de hecho cero. Pero queremos que esto se mantenga en todas partes, incluso fuera de la carcasa. No hay nada malo con nuestra teoría anterior, realmente es supersimétrica. Sin embargo, para tener una teoría SUSY cuántica (y, por lo tanto, incluir partículas fuera de la capa) necesitamos un campo inofensivo que asegure que el álgebra se cierre en todos los momentos. Llamamos a esto un campo auxiliar, $F$. Para evitar que este campo se propague, no podemos dejar que tenga derivadas. Para que el campo sea cero en el caparazón, debemos tener, $$\begin{equation} {\cal L} _{ aux} = F ^\ast F \end{equation}$$ y entonces las ecuaciones de los movimientos son, $$\begin{equation} F = F ^\ast = 0 \end{equation}$$ según sea necesario. Tenga en cuenta que esto $F$términos siendo cero en la cáscara es una consecuencia de trabajar con una teoría sin interacciones. En general, se necesita una condición más complicada.

Ahora las transformaciones completas de supersimetría se modifican con un nuevo$F$término para$\psi$para comer los términos adicionales anteriores,

$$\begin{align} & \delta \phi = \epsilon \psi \\ & \delta \psi _\alpha = - i ( \sigma ^\mu \epsilon ^\dagger ) _\alpha \partial _\mu \phi + \epsilon _\alpha F \\ & \delta F = - i \epsilon ^\dagger \bar{\sigma} ^\mu \partial _\mu \psi \end{align}$$ donde el $F$término fue elegido artificialmente de tal manera que el álgebra se cierra. El campo auxiliar adicional corrige el álgebra para permitir que el álgebra se cierre fuera del caparazón. Es sencillo comprobar que esto deja invariante al lagrangiano.