Campo electromagnético como conexión en un haz de vectores

Aquí hay una respuesta corta (-ish). Un fibrado vectorial es una familia de espacios vectoriales sobre una variedad. Los espacios vectoriales pueden tener bases. La variedad puede tener coordenadas. Los dos conceptos no están relacionados a priori (ahora para el haz de espacios tangentes , un cambio de coordenadas induce un cambio de base; este hecho a menudo genera confusión). Una vez que elige una base para su espacio vectorial, define un vector por sus componentes, pero alguien más puede estar describiendo el mismo vector en una base diferente. Para traducir a la física: cambio de base = transformación de calibre.

En el caso de una partícula cargada, la función de onda es la componente de una sección de un vector; en una nueva base, este número cambia por un número complejo distinto de cero (que puede variar de un punto a otro). Nuevamente, la función de onda es una sección, y una sección significa un vector para cada punto en la variedad. ¿Cómo diferenciamos una función que toma valores en diferentes espacios vectoriales sobre diferentes puntos? Necesitamos una forma de conectar los espacios vectoriales. La conexión hace esto; pragmáticamente, es solo una regla para hacer esta diferenciación.

Por supuesto, la diferenciación se verá diferente en diferentes espacios vectoriales, por lo que la forma de la conexión dependerá de la base y cambiará con las transformaciones de calibre (al igual que la forma de una transformación lineal cambia con el cambio de bases). Eso es lo que varias fórmulas desordenadas sobre cómo las cosas se "transforman" intentan decirte.

1. No estoy muy seguro acerca de esta pregunta. ¿Quizás solo estás preguntando sobre la notación? Puedes elegir lo que quieras. Pero por lo general eliges un sistema de coordenadas y solo trabajas en eso. Ciertamente, no es un problema si está trabajando en un espacio-tiempo plano: allí tiene buenas coordenadas globales para todo.

2. • La primera frase es correcta. Para grupo de mentira arbitrario$G$con álgebra de mentira$\mathfrak{g}$puede obtener una llamada estructura G (por ejemplo,$O(n)$-estructura para variedades de Riemann) y puede definir una conexión en eso. Son matemáticas bastante pesadas, pero al final del día obtienes una$\mathfrak{g}$-valorado (más precisamente, toma valores en la representación adjunta de$\mathfrak{g}$) de una sola forma$\omega$y derivada covariante$D_{\mu}$como el que has escrito.

   • En general, visualizo conexiones como esta: pones un vector y la conexión te devuelve un elemento del álgebra de Lie que es un generador de alguna transformación en el grupo de Lie. Por ejemplo, en una variedad de Riemann, inserta en la conexión la dirección a la que desea ir y obtendrá información (dicho muy aproximadamente) sobre cuánto se curva el espacio en esa dirección. Más precisamente, si integras$\oint_{\gamma} \exp(\omega(\dot{\gamma}(t))) dt$obtienes algún elemento$T \in G$que te dice cómo cualquier vector se transporta en paralelo a lo largo de la curva cerrada$\gamma$(esto se llama holonomía).

   • En cuanto a la última pregunta de por qué$U(1)$: bueno, porque es electromagnetismo. Varios grupos le darán varias interacciones (por ejemplo,$SU(3)$te da QCD). Estos grupos surgen porque las teorías contienen algo llamado simetría de calibre. Estoy seguro de que sabe que las ecuaciones de Maxwell, cuando se escriben en$A$y$\phi$, son invariantes a ciertas transformaciones. Más concreta y claramente, como${\bf F} = d{\bf A}$, dónde${\bf F}$es el tensor electromagnético y${\bf A}$es el cuatro potencial. De esta forma es obvio que las ecuaciones para${\bf F}$no cambies con la transformación${\bf A'} = {\bf A} + d\chi$. Ahora, retrocedamos a$\psi$y tenga en cuenta que si desea que la teoría sea localmente invariable (¿por qué haría eso? porque es bueno tener propiedades locales en lugar de globales. Y la teoría es claramente invariable con respecto al cambio de fase global, así que intentemos esto) con respecto al cambio de fase, tendrás que introducir nuevo grado de libertad${\bf A}$¡que se transforma precisamente como el potencial cuádruple en la teoría de Maxwell! En realidad, lo que acabamos de hacer es que recuperamos fotones. Entonces, para concluir: si eliges$U(1)$como un grupo de simetrías, aparece el electromagnetismo. Pero tenga en cuenta que para incorporar todo esto de manera consistente, debe trabajar en el marco de la teoría cuántica de campos porque la ecuación de Schrödinger claramente no es relativistamente invariante, que es una característica que seguramente nos gustaría tener en la teoría del electromagnetismo.

3. Esto puede ser un poco confuso, especialmente en la literatura física y dudo que realmente pueda aclararlo. Probablemente esto solo lo confundirá aún más, pero aquí va: existen varios espacios de secciones y$G$-estructuras y representaciones de ambos$G$y$\mathfrak{g}$entre los que uno realmente debería discernir pero que están identificados en la física. Hacer esto riguroso tomaría demasiado espacio, por lo que le sugiero que consulte algunos libros sobre teoría de indicadores. Solo te diré que el vector (más precisamente el campo vectorial ) también es una sección y viceversa. Pero tenga en cuenta que aquí se mezclan otros dos términos: vector abstracto como concepto del álgebra lineal (este es nuestro$\psi$: sabes que es este tipo de vector porque no tiene índice de espacio-tiempo$\mu$) y el vector como un elemento del espacio-tiempo de Minkowski, digamos$V^{\mu}$. En cuanto a$D_{\mu}$, actúa (por extensión) también sobre el álgebra tensorial del espacio de secciones$\psi$(en este caso simple donde$\psi$no tiene índice, el álgebra de tensores es isomorfa al álgebra de tensores de tangente normal) y te da una forma de vivir en este álgebra de tensores, así que sí: ¡es una sección, pero en un espacio totalmente diferente (aunque isomorfo)!

No necesitas disculparte. Estas cosas son bastante difíciles y se necesita mucho tiempo para asimilarlo todo y supongo que muchos físicos simplemente descartarían la mayor parte del contenido matemático y seguirían adelante para calcular algo. Lo cual es posible aquí porque$U(1)$es solo unidimensional, su álgebra de Lie es unidimensional, y también lo es$\psi$. Así que solo trabajas con números todo el tiempo y no surge la necesidad de conceptos abstractos. Excepto que esto no te ayuda ni un poco cuando intentas generalizar esto (ya sea a QCD con grupo no abeliano$SU(3)$, o al espaciotiempo curvo), o incluso si tratas de pensar en algunos conceptos que son bastante básicos desde el punto de vista de la geometría (por ejemplo, intenta pensar en cuál es el significado de la holonomía mencionada anteriormente con respecto a$\gamma$En el caso de$U(1 )$). Así que es bueno que ya estés tratando de entender los principios básicos.

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Actualización con respecto a la pregunta de Greg en los comentarios:

No estoy seguro de entenderlo completamente, pero tengo la sensación (probablemente equivocada) de que está mezclando varias nociones de invariancia aquí. Hay al menos dos nociones de invariancia física (bajo la acción del grupo de Lorentz y bajo la acción de$U(1)$) y también una noción de invariancia en el sentido de ser "libre de coordenadas". Ahora, si mi sentimiento es correcto, estás pidiendo un análogo de$v = v^{\mu}{{\rm \partial} \over {\rm \partial} x^{\mu}}$por$\psi$. Estas dos cosas son realmente muy similares, pero de una manera un poco disfrazada. Más precisamente:$v$es una sección de un haz tangente$TM$y lo estamos descomponiendo con respecto a alguna sección del paquete de marcos tangentes canónicos$FM$, que también conlleva una acción natural del grupo$GL_k({\mathbb{R}})$(la acción es un cambio local de base y$k$es el rango de$TM$). En otras palabras, tenemos un$G$-estructura aquí y aquí es donde viene la invariancia "sin coordenadas". La situación es similar con$\psi$: es una sección de un paquete vectorial$\pi: V \to M$que lleva un$U(1)$-estructura. En este punto también debe quedar claro dónde está la diferencia entre los dos casos: en el primero tienes dos paquetes$TM$y$FM$mientras que en el segundo solo hay$\pi: V \to M$. Así que realmente no tiene sentido pedir$\psi$ser más invariable de lo que ya es: no tienes nada con respecto a lo que puedas descomponerlo. Así que en lugar de pensar en$\psi$como un análogo de la sección de$TM$, piénselo en cambio como un análogo de una sección de$FM$.

Puedo entender perfectamente tu confusión ya que es natural que te sientas abrumado por este nuevo punto de vista sobre la teoría.

Las respuestas dadas por Eric y Marek están bien y no hablaré directamente sobre paquetes principales, trivialización local y cosas por el estilo. Quiero presentar un enfoque muy intuitivo aquí.

Le sugiero que retroceda uno o dos pasos e intente comprender la noción de una derivada covariante en la geometría diferencial clásica. Allí, la derivada covariante$D$asegura que si se deriva alguna cantidad$F$en una variedad, digamos alguna superficie, esta nueva cantidad$DF$también estará "sobre la variedad" (en realidad, algo relacionado con ella, como el espacio tangente).

Con suerte, el siguiente ejemplo ilustrará el problema de lo que significa que algo tiene que "permanecer en el colector".

Punto de masa en una superficie

Bien, hagamos el ejemplo más simple que se nos ocurra, el movimiento de un punto de masa libre sobre una superficie en la mecánica newtoniana. Como saben, el Lagrangiano en este caso es solo la energía cinética,

$$L = T = \frac{m}{2}\mathbf{v}^2$$

Entonces, ¿qué es ahora?$\mathbf{v}^2$? Tenemos que suponer que en cada punto, la velocidad es tangencial a la superficie. Entonces, sabemos que$\mathbf{v}^2 = g_{ab}\dot{x}^a\dot{x}^b$donde sumamos los índices y la superficie se describe mediante alguna métrica$g_{ab}(x)dx^adx^b$y hemos reemplazado la velocidad por la derivada temporal de la posición de la partícula.

Para la solución del sistema necesitaremos dos términos. En primer lugar, queremos calcular

$$\frac{\partial{L}}{\partial{x^k}} = \frac{m}{2}\partial_k{g_{ab}(x)}\dot{x}^a\dot{x}^b$$

segundo,

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x}^k}} = \frac{d}{dt}\frac{m}{2}g_{ab}(x) \left( \delta^a_k\dot{x}^b + \dot{x}^a\delta^b_k \right) = m\frac{d}{dt}g_{kb}(x)\dot{x}^b$$

ya que$g$es simétrico Ahora,

$$m\frac{d}{dt}g_{kb}(x)\dot{x}^b = m\left( \partial_lg_{kb}(x)\dot{x}^l\dot{x}^b + g_{kb}(x)\ddot{x}^b\right)$$

Finalmente, las ecuaciones de movimiento están dadas por

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x}^k}} - \frac{\partial{L}}{\partial{x^k}} = 0$$

y eliminando m, reutilizando la simetría en$g$y renombrando algunos índices, llegamos a

$$g_{kb}\ddot{x}^b+\frac{1}{2}\left( \partial_a g_{kb} + \partial_b g_{ka} - \partial_k g_{ab} \right)\dot{x}^a\dot{x}^b = 0$$

que es exactamente aplicando$g^{ik}$

$$\ddot{x}^i + \Gamma^i_{ab}\dot{x}^a\dot{x}^b = 0$$

Donde los símbolos de Christoffel pueden verse directamente como

$$\Gamma^i_{ab} = \frac{1}{2}g^{ik}\left( \partial_a g_{kb} + \partial_b g_{ka} - \partial_k g_{ab} \right)$$

y espero no haber calculado nada mal.

Relación con la electrodinámica

Ahora bien, esta ecuación de movimiento ya es mágica ya que es precisamente la ecuación de movimiento para una partícula de prueba en la relatividad general . Pero, ¿qué pasa con (otras) teorías de campo gauge?
Aquí, la curvatura no se define con respecto a la variedad directamente sino a un grupo de alguna manera "unido" a ella. Es por eso que tendrá algunos índices de grupo, pero uno puede descartar esto si el álgebra de mentira del grupo es unidimensional como en el caso de la electrodinámica. Allí, nuestra curvatura es$F_{\mu\nu}$pero también podríamos afirmar$F^a_{\mu b\nu}$donde ahora$a$y$b$son índices del grupo. Esto parece mucho más familiar a la curvatura de la relatividad general,$R^{\mu}_{\nu\alpha\beta}$donde todos los índices corresponden a la variedad, en algún sentido, el espacio tangente es el grupo de la relatividad general, en términos generales.

Por razones históricas, los símbolos de Christoffel que de alguna manera captan (¡no invariablemente!) la fuerza que actúa sobre la partícula debido a la curvatura se denominan campos de medida en las teorías de medida.$A$y reescalado,

$$\beta A^a_{\mu b}dx^{\mu}" = "\Gamma^a_{\mu b}dx^\mu$$

con índices de nuevo grupo$a$y$b$.

Ahora, si deriva algo en la variedad, siempre tendrá que definir esa derivada con respecto a los Símbolos de Christoffel para permanecer "en la variedad". Por otro lado, la derivación también deberá respetar el carácter grupal, se podría decir que el resultado debe permanecer "en el grupo". Esto se realizará mediante una derivada covariante y aquí los "símbolos de Christoffel" se denominan campos de calibre.

Sinceramente

Roberto

El mejor libro que he visto sobre esto es de Chris Isham llamado Modern Differential Geometry for Physicists . Es pesado porque hace todo con rigor, pero al final vale la pena por la clarificación conceptual.

Hay básicamente dos conceptos que uno tiene que dominar: paquetes principales y paquetes vectoriales. La noción de una conexión se puede definir en ambos de forma independiente y es útil saber cómo traducir entre los dos.

Un paquete principal tiene un grupo de estructura, generalmente conocido en física como el grupo de calibre, y la construcción principal que le da un paquete vectorial a partir de este se denomina paquete asociado, que se obtiene al proporcionar una representación del grupo de estructura/calibre.

1) La notación es pesada porque hay una gran cantidad de detalles para controlar. Cada paso es sencillo, pero es la gran cantidad de él.

2) Una conexión en un paquete principal$E$es un desdoblamiento de su haz tangente$TE$en un paquete vertical$VE$y un paquete horizontal$HE$que es equivariante , esto quiere decir que es compatible con la acción del grupo estructural sobre las fibras. La conexión 1-forma surge de observar que podemos identificar las fibras del haz vertical con el haz tangente del grupo$G$Al origen$e$, eso es lo que obtenemos$T_eG$, y esta es exactamente el álgebra de Lie del grupo.

3) Uno no usa el formulario de conexión 1 directamente en la forma que ha indicado. En cambio, se construye una derivada covariante a partir de la forma 1 de conexión y esta en sí misma no es una forma 1.

Vale la pena señalar que los paquetes principales y vectoriales y las conexiones en ellos son construcciones globales, mientras que las construcciones que uno suele ver en física son típicamente locales. Para obtener la imagen local, generalmente se toma una sección del paquete y luego se retira la estructura geométrica.

Este fue un punto que me confundió. Por ejemplo, la conexión matemática de forma 1 es global, pero la conexión física de forma 1 es local y son diferentes.