Notación para secciones de paquetes de vectores

Question

Notación para secciones de paquetes de vectores

Greg Gravitón

(Reformulación de la parte 1 de Campo electromagnético como conexión en un paquete vectorial )

Estoy buscando una buena notación para secciones de paquetes de vectores que sea invariable y que haga referencia a las coordenadas del paquete. ¿Hay una notación estándar para esto?

Fondo:

En mecánica cuántica, la función de onda $\psi(x,t)$ de un electrón se suele introducir como una función $\psi : M \to \mathbb{C}$ dónde $M$ es el espacio-tiempo, generalmente $M=\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}$ .

Sin embargo, al modelar el electrón en un campo electromagnético, es mejor pensar en $\psi(x,t)$ como una sección en un $U(1)$ -paquete de vectores $\pi : P \to M$ . De hecho, $\psi(x,t)$ en sí mismo no es una sección, es solo la imagen de una sección en una trivialización local particular $\pi^{-1}(U) \cong U\times\mathbb{C}$ del haz vectorial. En una trivialización local diferente (= un calibre diferente), la imagen será $e^{i\chi(x,t)}\psi(x,t)$ con un factor de fase diferente.

Desafortunadamente, me siento incómodo con esta notación. Es decir, preferiría una notación invariable, como para el paquete tangente. para una sección $\vec v$ del paquete tangente (= un campo vectorial), puedo escribir $\vec v = v^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}$ . Esta expresión menciona las coordenadas $v^\mu$ en un sistema de coordenadas particular, pero también es invariante , porque también escribo el vector base $\frac{\partial}{\partial x^\mu}$ del sistema de coordenadas.

El gran beneficio de la notación vectorial es que trata automáticamente los cambios de coordenadas: $\frac{\partial}{\partial x^\mu} = \frac{\partial}{\partial y^\nu}\frac{\partial y^\nu}{\partial x^\mu}$ .

Mi pregunta:

¿Existe una notación para secciones de paquetes vectoriales que sea similar a la notación $\vec v = v^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}$ para el paquete tangente? ¿Cómo se ve para nuestro ejemplo particular? $\psi$ ?

Si no, ¿cuáles son las notaciones habituales/estándar para esto? ¿Cómo realizan un seguimiento de las coordenadas del paquete?

Respuestas (2)

Notación para secciones de paquetes de vectores

Marek · Answer 1

Editar : me di cuenta de que lo que escribí no era realmente correcto, así que déjame cambiar un poco el texto. Marcaré las adiciones en cursiva , para que el texto antiguo quede como referencia.

Le di una respuesta (parcial) a esto en la actualización de mi respuesta a su pregunta anterior, así que déjeme copiar y pegar esa respuesta (con algunas modificaciones):

¡ La respuesta a la primera pregunta es no, pero por una razón diferente a la que indiqué en el enlace anterior y en el texto a continuación! . No existe tal notación y para ver por qué, primero tenemos que entender de dónde viene la invariancia del vector "sin coordenadas". El $v$ en tu pregunta es una sección de un paquete tangente $TM$ y lo estamos descomponiendo con respecto a alguna sección del paquete de marcos tangentes canónicos $FM$ , que también conlleva una acción natural del grupo $GL_k({\mathbb{R}})$ (la acción es un cambio local de base y $k$ es el rango de $TM$ ). En otras palabras, tenemos un $GL_k({\mathbb{R}})$ -estructura aquí.

La situación es superficialmente similar con $\psi$ : es una sección de un paquete vectorial $\pi: V \to M$ que lleva un $U(1)$ -estructura. En este punto también debe quedar claro dónde está la diferencia entre los dos casos: en el primero tienes dos paquetes $TM$ y $FM$ mientras que en el segundo solo hay $\pi: V \to M$ . Así que realmente no tiene sentido pedir $\psi$ ser más invariable de lo que ya es: no tienes nada con respecto a lo que puedas descomponerlo. Así que en lugar de pensar en $\psi$ como un análogo de la sección de $TM$ , piénselo en cambio como un análogo de una sección de $FM$ .

Cometí un error en el razonamiento anterior porque en el caso de unidimensional $U(1)$ los conceptos de $V$ y $F(V)$ (haz de marco asociado) coinciden. Así que también tienes dos paquetes en el segundo caso. Pero la diferencia viene del hecho de que $TM$ es un paquete vectorial muy especial: su estructura proviene de la variedad $M$ mismo, mientras que $V$ es una estructura extrínseca. Por lo tanto, ciertamente no puede obtener una descomposición con respecto a las derivadas coordinadas en $M$ como es el caso de $TM$ .

En cuanto a la segunda pregunta: en las teorías de calibre, uno suele fijar el calibre de antemano (piense en el calibre de Lorenz o Coulomb) y trabaja en eso para siempre. Realmente no obtienes nada interesante aquí trabajando de alguna manera "sin calibre" (o al menos no lo sé). Entonces, estas cosas realmente no son un problema, al menos hasta el momento en que te encuentras con QFT y comienzas a preguntarte cómo dar cuenta de toda esta enorme libertad de calibre. Y allí, en realidad, hay un gran problema que debe abordarse y puede abordarse de varias maneras (incluida la fijación de calibre). Pero nada de esto es relevante para ti en este momento, supongo.

¡Gracias! Reflexionando sobre tu respuesta, creo que ahora lo entiendo. Obviamente, no puedo esperar que un cambio de coordenadas $x^\mu \to y^\mu$ en el colector base $M$ inducirá un cambio en $\psi$ ; después de todo, las coordenadas en las fibras son "nuevas" o "independientes" de la variedad base. (En este sentido, el paquete tangente "no es un paquete vectorial propio"; los únicos cambios de coordenadas permitidos en las fibras son diferenciales $Df$ de mapas $f: M \to M$ ).
Para las coordenadas "extra" en las fibras, siempre puedo escribir $\psi = \sum_\alpha\psi_\alpha s_\alpha$ donde el $s_\alpha$ son un grupo de secciones linealmente independientes. Esto es independiente de las coordenadas, pero realmente no me compra nada. [Sin embargo, leí la notación $\psi((x,t),g)$ una vez, donde $g\in U(1)$ era un elemento del grupo de estructura. La intención era probablemente llevar el indicador $g$ en el punto $(x,t)$ , en el espíritu de $\psi((x,t),g)=g\psi((x,t),1)$ . Eso es lo que motivó mi pregunta aquí, pero de alguna manera esta notación me parece falsa.]
@Greg: Bueno, yo diría que $TM$ es un paquete de vectores especial en lugar de "no propio". Pero estoy de acuerdo en que puede causar una gran confusión. Especialmente en la relatividad general, donde la conexión (dicho más o menos) funciona en $TM$ mismo (así $TM$ desempeña tanto el papel de haz tangente como el de haz de campo). En cuanto a la $s_{\alpha}$ descomposición: en realidad no es del todo cierto que no te compre nada. Te da lo mismo que el formalismo de tétrada en la relatividad general, que a menudo es mucho más fácil de trabajar que las coordenadas.

eric zalow · Answer 2

Lo siento, acabo de notar su comentario sobre una pregunta anterior en la que dijo que haría una pregunta separada. Aquí hay una respuesta. (Perdón por cualquier superposición con la de marek).

Así como para hablar sobre vectores en un espacio vectorial n-dimensional como n-tuplas de números, primero debe elegir la base, para hablar sobre secciones de paquetes de vectores de manera concreta, debe elegir un "marco". $\{e_a\}$ (que es solo una forma elegante de decir una familia de vectores/secciones base). Entonces la notación es exactamente como antes, una sección $s$ parece $s^a e_a$ (resumido $a$ ).

En su ejemplo de una función de onda para una partícula cargada, el paquete vectorial es unidimensional (complejo), por lo que el vector de base única $e$ generalmente se elimina de la notación. Pero debería estar ahí, moralmente, como usted nota.

Una transformación de calibre por $\chi$ equivale a cambiar su vector base $e$ al multiplicarlo por $\exp(-i\chi)$ , entonces el vector (invariante) $\Psi = \psi e$ tiene coordenadas $\psi \exp(i\chi)$ en la nueva base. El campo de calibre $A_\mu$ es una matriz de 1x1, y debe cambiarse agregando $\exp(i\chi)\partial_\mu \exp(-i\chi) = -i\partial_\mu \chi$ . De esa manera $D_\mu \Psi = \partial_\mu \psi + iqA_\mu \psi$ tiene sentido invariable, donde $q$ es el cargo (o representación, diciendo cómo $A$ actúa sobre $\psi$ -- es decir, multiplicando con $q$ Al frente).

Espero que haya ayudado.

Está bien. Entonces, primero tengo que elegir un marco (local) y luego puedo escribir las coordenadas para cualquier sección. (En el caso del paquete tangente, existen opciones naturales de marcos que surgen de las coordenadas en la variedad, pero no es el caso de los paquetes de vectores generales). Los cambios de coordenadas/marcos se describen mediante el grupo de estructura (aquí $U(1)$ ).
Creo que mi pregunta original era esta: ¿por qué $A_\mu$ un elemento del álgebra de Lie? Es decir, ¿por qué la fórmula $D_\mu\Psi = \partial_\mu \psi + iqA_\mu \psi$ ¿trabajar? Quiero decir, puedes calcular que es calibre invariante, pero no me gustan las derivadas parciales $\partial_\mu$ , no son objetos geométricos invariantes. Lo que me gustaría ver es un objeto geométricamente significativo del cual la representación $D_\mu = ...$ en coordenadas locales se pueden derivar. ¿Esta es probablemente la misteriosa forma única en el paquete principal?
Tu primer comentario: sí. Su segundo comentario: el álgebra de Lie es Lie(Aut(G)) = Lie(G), donde Aut(G) son los automorfismos de G con su acción G derecha transitiva. Esto es geométrico. La derivada es la diferencial de un automorfismo, por lo que es un endomorfismo.
Sí, hay varias formulaciones matemáticas más limpias de derivadas covariantes (conexiones) en paquetes de vectores, pero todas son equivalentes. Puede consultar el primer capítulo de Berline-Geztler-Vergne. Aquí hay una toma rápida: una conexión son los datos de qué direcciones (en el espacio tangente de todo el conjunto de vectores) son horizontales y cuáles son verticales. El transporte paralelo eleva una curva a una curva horizontal que comienza en su vector. La derivada covariante es la parte vertical de la derivada de esa curva elevada. (Puede codificar esto como una forma única en el espacio total).

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