¿Campo de calibre no abeliano y fermiones bajo paridad?

El campo de calibre$A_\mu$se transforma como un covector (aquí$A_\mu = T^a A^a_\mu$es la matriz de conexión completa). Esto significa que$A_\mu$se transforma de la misma manera que las derivadas parciales$\partial_\mu$transformar. Esto se ve más fácilmente observando la derivada covariante$D_\mu = \partial_\mu + A_\mu$. La derivada covariante se transforma bajo cambios de coordenadas$x \rightarrow y$como

$\frac{D}{dy^\mu} = \frac{dx^\nu}{dy^\mu} \frac{D}{dx^\nu}$

O, escrito de otra manera,

$D_\mu \rightarrow \frac{dx^\nu}{dy^\mu} D_\nu$

Esto implica que bajo un cambio de coordenadas,$A_\mu$se transforma de la misma manera,

$A_\mu \rightarrow \frac{dx^\nu}{dy^\mu} A_\nu$

Entonces, bajo un reflejo, hay un componente$x^i$que se transforma en$x^i \rightarrow -x^i$todos los demás permanecen igual. Entonces esto significa que

$A_i \rightarrow -A_i$(es decir$A^a_i \rightarrow -A^a_i$)

y todos los demás componentes permanecen igual. Tenga en cuenta que esta es una declaración puramente geométrica que no tiene nada que ver con cuantificar la teoría, y proviene de ver$A_\mu$como una conexión en un paquete de vectores ( por ejemplo, vea esta otra publicación de StackExchange ).

Los fermiones se transforman como de costumbre,$\psi \rightarrow \gamma^0 \psi$bajo paridad, lo que corresponde a cambiar los componentes izquierdo y derecho del campo de Fermi.