Duda sobre la condición de consistencia de la restricción secundaria de la electrodinámica

Sobre el método de Dirac para el electromagnetismo, exigiendo consistencia en la restricción secundaria$X$(que debe lograrse de manera idéntica ya que no hay más restricciones),

$$X_{\mathbf{x}}[\pi, \lambda] \equiv \int d^3x \,\lambda(\mathbf{x}) (\partial_i\pi^i-j^0)(\mathbf{x}) \approx 0$$

yo obtengo

$$\begin{split} 0\overset{!}{\approx }\dot{X}\approx & \{X(\mathbf{x}),H_{P}(\mathbf{y})\} =-\int d^3z \, \frac{\delta H_P(\mathbf{y})}{\delta A^{\mu}(\mathbf{z})}\frac{\delta X(\mathbf{x})}{\delta \pi^{\mu}(\mathbf{z})} \\ \approx&\int d^3z \, \frac{\delta H_P(\mathbf{y})}{\delta A^{i}(\mathbf{z})}\partial_i [\lambda(\mathbf{x}) \delta(\mathbf{x}-\mathbf{z})] \\ \therefore & \; \; 0\approx \;\partial_i \frac{\delta H_P}{\delta A^{i}}=\partial_i \partial_j F^{ji}-\partial_i j^i = -\partial_i j^i \end{split}$$

Con$H_P$siendo el hamiltoniano primario para la electrodinámica con fuentes, con densidad

$$\mathscr{H}_P=\frac{1}{4}F^{i j} F_{i j} -\frac{1}{2}\pi^{i}\pi_{i} -A_0 \partial_i \pi^{i} + j^{\mu}A_{\mu} + \lambda_1 \pi^0$$

Ahora bien, el primer término de$\dot{X}$es, por supuesto, idénticamente cero, lo que garantiza la consistencia de la restricción secundaria en electrodinámica sin fuentes. El problema es que me quedo con el termino$\partial_i j^i$que no tiene por qué ser cero (a diferencia de$\partial_{\mu} j^{\mu}=0$, por supuesto).

Ha pasado un tiempo desde que estoy atrapado aquí y estaría extremadamente agradecido si alguien pudiera al menos señalarme la dirección correcta.

Editar: comencé con la densidad lagrangiana

$$\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}-j^{\mu}A_{\mu}$$