¿Cambia la masa (relativista)? ¿Por qué?

En la mecánica relativista, existe una cantidad conservada, el momento relativista:

$\vec p = \gamma m \vec v$

$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

donde m es la masa invariante o menos precisamente, la masa en reposo .

Ahora, una interpretación es identificar$\gamma m$como la masa relativista , una masa dependiente de la velocidad. Pero esto es en realidad antinatural ya que conduce a la noción de inercia dependiente de la dirección; objetos que tienen más inercia a lo largo de la dirección del movimiento.

De hecho, es más natural identificar$\gamma \vec v$como los componentes espaciales de un cuatro-vector, el cuatro-velocidad$\mathbf{U}$.

Entonces, el impulso de cuatro es solo$m\mathbf{U}$con componentes espaciales$\vec p$:

$m\mathbf U = (\gamma m c, \gamma m \vec v)$

Aquí hay un bosquejo (aún bastante largo) del desarrollo original de Einstein de la energía cinética relativista, de su célebre artículo de 1905 "Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento" vinculado a la respuesta de Ben Crowell. El enfoque de esta respuesta también está motivado por un documento vinculado por dmckee en el chat.

Habiendo notado la inconsistencia de la electrodinámica de Maxwell con la mecánica newtoniana estándar, Einstein ofrece sus principios para una nueva dinámica:

1. las leyes dinámicas deben ser las mismas en dos sistemas de coordenadas en movimiento relativo uniforme (por lo que no hay un sistema preferido de "reposo absoluto")
2. la constancia de la velocidad de la luz$c$.

Tenga en cuenta que el primero ya está satisfecho por la dinámica newtoniana; es el segundo principio que es revolucionario.

A partir de estos principios desarrolla la transformación de Lorentz, de la que a su vez se derivan (entre muchas otras cosas):

• dilatación del tiempo: un reloj en movimiento parece ir lento. Desde el punto de vista de un marco de referencia en el que un reloj, moviéndose con velocidad$v$, marca un intervalo de tiempo$\Delta \tau$, el sistema de reloj del marco de referencia registra un intervalo más largo$\Delta t$:

  $$\Delta t = \gamma \Delta \tau \quad \text{ where } \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\left( \frac{v}{c} \right)^2}}$$ (Tengo que señalar aquí que Einstein en realidad usa el símbolo$\beta$por lo que llamamos$\gamma$; desde$\beta$ahora significa algo completamente diferente, este cambio de notación me causa una gran confusión. Me pregunto cuándo ocurrió el cambio?)

• la fórmula de adición de velocidad, que para velocidades colineales$v$y$w$da una resultante$V$:

  $$V = \Phi(v,w) = \frac{v + w}{1 +\frac{vw}{c^2}}$$ Si$w << v$, podemos escribir (en el límite$w \rightarrow 0$):
  $$V = v + dv = v + \phi(v) w \quad \text{ where } \phi(v) = \left. \frac{\partial \Phi}{\partial w} \right|_{w=0} = \frac{1}{\gamma ^2}$$

Tenga en cuenta que la dinámica newtoniana se recupera estableciendo$\phi=1$, lo que equivale a$\gamma=1$.

A continuación, Einstein demuestra que las ecuaciones de Maxwell ya satisfacen ambos principios y que la componente del campo eléctrico$E$en la dirección del movimiento de un marco en movimiento es la misma tanto en marcos en movimiento como estacionarios.

Con todo eso como preparación, es hora del evento principal: considere un cargo$q$acelerado desde el reposo por un campo eléctrico uniforme$E$a través de una diferencia de energía potencial$W=qEl$. Por conservación de la energía, la energía cinética final$T$del cargo será$T=W$.

1. En cualquier punto de su movimiento, donde la velocidad instantánea de la partícula es$v$en el marco de laboratorio, se puede establecer un marco de referencia de movimiento conjunto en el que se aplica la ley de Newton (instantáneamente) para el cambio de velocidad$dw$(en ese cuadro): $$dw = \frac{q}{m} E d \tau$$
2. Transformando esta expresión al marco de laboratorio utilizando los resultados anteriores, se encuentra: $$\frac{dv}{\phi(v)} = \frac{q}{m} E \frac{dt}{\gamma} \quad \text{ or } \quad dv = \frac{1}{\gamma^3} \frac{qE}{m} dt$$

Dado que la tasa de cambio de energía (la potencia) es:

Tenga en cuenta que en el límite newtoniano$\gamma=1$, la integral se evalúa como la familiar$\frac{1}{2} mv_f^2$.

Empecemos asumiendo los postulados de la relatividad especial dados en Einstein 1905a. Uno de estos es que$c$es el mismo en todos los marcos de referencia. En realidad, hay dos cosas que nos gustaría hacer: (1) demostrar que las fórmulas habituales de la mecánica newtoniana ya no dan una descripción utilizable de la dinámica, y (2) averiguar cómo modificar esas fórmulas.

La tarea #1 es bastante sencilla. Por ejemplo, supongamos que tenemos una colisión unidimensional elástica entre objetos$M$y$m$, con$M \gg m$, en un marco de referencia donde$m$está inicialmente en reposo y$M$tiene velocidad inicial$v$. Si asumimos las expresiones newtonianas para la cantidad de movimiento y la energía cinética, entonces el resultado de tal colisión es que$m$la velocidad final es$v'=2v$. En el caso de que$v=c/2$, esto provocaría$m$volar en$v'=c$. Pero esto contradice el segundo postulado de Einstein, porque si es posible que los objetos materiales se muevan a$c$, entonces es posible que los observadores se muevan a$c$, pero entonces, en el marco de referencia de tal observador, un rayo de luz podría moverse a velocidad cero.

También podemos ver cualitativamente a partir de este argumento que la inercia debe aumentar a velocidades comparables a$c$. Por coherencia con los postulados de la relatividad, el resultado real de esta colisión debe ser$v'<c$. La masa$m$está actuando como si tuviera más de la resistencia esperada al cambio en su estado de movimiento. Hay dos formas equivalentes de enunciar esto: (a) podemos decir que$m$aumenta con la velocidad, o (b) podemos modificar las ecuaciones de energía y cantidad de movimiento considerando$m$ser una constante. No importa fundamentalmente si elegimos a o b; solo equivale a reorganizar un cierto factor de corrección en ciertas ecuaciones. Hasta alrededor de 1950, a era más popular, pero hoy en día todos los físicos usan b.

Así que ahora tenemos la tarea #2, que es arreglar cuantitativamente las fórmulas dinámicas en la mecánica newtoniana para que sean relativísticamente correctas. Hay muchas maneras diferentes de hacer esto. La ruta que Einstein tomó originalmente fue demostrar la equivalencia de masa y energía (Einstein 1905b). El documento es bastante legible, pero si realmente desea continuar con este enfoque y desarrollar un tratamiento completo del impulso, en mi opinión, se vuelve un poco engorroso. Un enfoque más moderno, demostrado en Einstein 1935, es pensar en términos de cuatro vectores. Este enfoque permite una derivación bastante compacta, a expensas de cierta abstracción.

Las consecuencias cinemáticas de los postulados de Einstein 1905a se resumen en la transformación de Lorentz, que convierte las coordenadas de tiempo y espacio de un evento$(t,x,y,z)$en coordenadas$(t',x',y',z')$en otro marco que está en movimiento con respecto al primero a una velocidad$v$. No es mi propósito volver a derivar la transformación de Lorentz aquí, así que solo apelaré a sus propiedades según sea necesario. Esto hace que sea natural comenzar a hablar de vectores.$\textbf{r}$y$\textbf{r}'$en cuatro dimensiones. Estos se llaman cuatro vectores. Realmente tenemos que desechar la vieja noción de un vector de tres, porque un vector de tres como$(x,y,z)$no tiene propiedades de transformación bien definidas; no podemos decir cómo se vería en otro marco sin saber$t$.

Así como la mecánica newtoniana tiene reglas uniformes para operar sobre vectores de desplazamiento, vectores de fuerza, vectores de momento, etc., esperamos que la transformación de Lorentz sea aplicable a todos los objetos correspondientes en relatividad. Puedes tomar esto como un postulado si quieres.

Las leyes fundamentales de la física son las leyes de conservación, como la conservación del impulso. Las consideraciones anteriores nos dicen que para generalizar la conservación de la cantidad de movimiento a la relatividad, vamos a tener que hacer un cuatro vector a partir de la cantidad de movimiento newtoniana de tres. Si la ley se vuelve a expresar en términos de cuatro vectores, entonces la ecuación automáticamente será válida sin importar en qué marco nos encontremos, ya que ambos lados de la ecuación se transformarán de manera idéntica.

La transformación de Lorentz de un vector cero siempre es cero. Esto significa que el cuatro vector de impulso de un objeto material no puede ser igual a cero en el marco de reposo del objeto, ya que entonces también sería cero en todos los demás marcos. Así que para un objeto de masa$m$, sea su cuadrivector de impulso en su marco de reposo$(f(m),0,0,0)$, dónde$f$es alguna función que necesitamos determinar, y$f$solo puede depender de$m$ya que no hay otra propiedad del objeto que pueda ser dinámicamente relevante aquí. Como las leyes de conservación son aditivas,$f$tiene que ser$f(m)=km$para alguna constante universal$k$. En unidades relativistas sensibles donde$c=1$,$k$es sin unidad. ya que queremos$\textbf{p}=m\textbf{v}$mantener para cuatro vectores para recuperar el límite newtoniano apropiado para cuerpos masivos, y dado que$v_t=1$en ese límite, necesitamos$k=1$.

Transformando este cuadrivector de impulso en algún otro marco, encontramos que su componente temporal ya no es$m$. es igual$m$más una expresión cuyo límite de baja velocidad es la energía cinética. Interpretamos esta expresión como la energía cinética relativista. Ya no tenemos conservación separada de la masa, solo conservación de masa más energía o "masa-energía".$E$.

La transformación de Lorentz siempre conserva la norma de un vector$\textbf{r}$, definido por$r_t^2-r_x^2-r_y^2-r_z^2$. Para un cuerpo de masa$m$, la norma del cuadrivector de cantidad de movimiento siempre será$m^2$, independientemente del marco en el que nos encontremos. El resultado es

lo cual es válido tanto para partículas masivas como sin masa. En el$m \ne 0$caso, entonces se puede demostrar que$p=m\gamma v$. La masa$m$es constante, que es la convención moderna. En los libros de texto escolares que todavía están atascados en la década de 1940,$m\gamma$se conoce como la masa relativista,$m$como la masa restante.

Einstein, "Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento", 1905; Traducción al inglés en http://fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/

Einstein, "¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido de energía?", 1905; Traducción al inglés en http://fourmilab.ch/etexts/einstein/E_mc2/www/

Einstein, "Derivación elemental de la equivalencia de masa y energía", Bull. Amer. Matemáticas. Soc. 41 (1935), 223-230, http://www.ams.org/journals/bull/1935-41-04/S0002-9904-1935-06046-X/home.html

En la física newtoniana la masa de una partícula de materia no cambia. se define por

$F=ma$, dónde$F$es la fuerza necesaria para aplicar a esta masa específica$m$para acelerarlo con una aceleración$a$.

Cuando las velocidades se acercan a la velocidad de la luz, los experimentos nos han dicho que cuanto mayor sea la velocidad de la partícula, más fuerza se debe aplicar para la misma aceleración.$a$.

La teoría de la relatividad especial aborda este comportamiento y ha sido validada una y otra vez mediante experimentos. Desde el enlace:

Para un observador que no está acelerando, parece como si la inercia del objeto estuviera aumentando, para producir una aceleración más pequeña en respuesta a la misma fuerza. Este comportamiento se observa de hecho en los aceleradores de partículas, donde cada partícula cargada es acelerada por la fuerza electromagnética.

Uno puede encontrar la fórmula del cambio de masa en el enlace de arriba.

Ahora no hay otra respuesta a "por qué", entonces "porque así es como se comporta la naturaleza".

cuando un objeto se mueve con una velocidad comparable a la velocidad de la luz, la masa (relativista) cambia [...]

Esta premisa parece equivocada.

Cuando y mientras algún objeto específico que se identifica por alguna masa específica (intrínseca, propia, invariante)$m$se mueve con cierta velocidad constante específica$v$(relativo a un sistema adecuado de participantes que sean capaces de evaluar esta velocidad de este objeto, en comparación con la velocidad de la luz en el vacío$c_0$)

entonces la llamada " masa relativista " de este objeto, en este juicio,$m / \sqrt{ 1 - (v/c_0)^2 }$, no cambia, pero permanece constante también.

En cambio, se pueden considerar diferentes ensayos, en los que el mismo objeto específico de masa específica (intrínseca, propia, invariante)$m$se mueve con diferentes velocidades, de modo que su " masa relativista " difiere en consecuencia de un ensayo a otro.

(La historia de la noción de " masa relativista " y su utilidad limitada en comparación con la noción de "masa (intrínseca, propia, invariante)" ya se ha abordado en otras respuestas).

Además de la respuesta de Alfred Centauri, puedo decir que la masa

$m_{rel}=\gamma m$

es AUTOMÁTICAMENTE implica inercia direccional, ya que no es constante.

Cualquier masa no constante provoca una fuerza de propulsión.

De la definición de fuerza

$F=\frac{dp}{dt}=\frac{dm_{rel}v}{dt}=v\frac{dm_{rel}}{dt}+m_{rel}\frac{dv}{dt}$

tenemos

$F_{prop}=v\frac{dm_{rel}}{dt}$

Es cero para masa constante, pero no cero para no constante.

Esta es una parte esencial de la mecánica y se utiliza en la ingeniería de cohetes.

Si está ganando masa o no depende de cómo se defina la masa. La "masa relativista" es simplemente la energía total, con un factor de c al cuadrado incluido.

Recuerdo haber leído que el propio Einstein estaba en contra de la idea de tal concepto, y se le cita diciendo que la única masa que se debe considerar es la "masa en reposo". Tendría que estar de acuerdo.

La masa relativista es básicamente algo que solo se usa cuando los científicos explican cosas a los no científicos. La razón por la que no puedes alcanzar la velocidad de la luz no es porque un objeto cambie de forma inherente, sino por la relación entre la velocidad relativa y la energía.

Tenga en cuenta también que, si usamos la masa relativista, ya no estamos justificados para decir que la luz no tiene masa. La luz tiene masa relativista, porque tiene energía.

Esta es una manera simple de entender la masa. Sabemos que Light (y EM en general) no tiene masa en reposo. Pero una onda estacionaria o un rayo de luz atrapado entre dos espejos (como en los láseres) tiene una masa en reposo. Así que llegamos a la conclusión de que la masa en reposo no es más que un impulso atrapado/detenido, o energía si lo prefiere, ya que los dos son derivables uno del otro. La captura se puede realizar mediante paredes como espejos o una pared de cavidad, o se puede realizar atrapando en un movimiento circular (sin necesidad de paredes). Por lo tanto, aquí decimos que la masa y la masa relativista deben ser equivalentes a un momento no atrapado, mientras que una masa en reposo es equivalente a un momento atrapado/detenido. Muchos ejemplos confirman esta imagen. Primero tienes los experimentos de aniquilación y creación donde la masa en reposo se convierte en flujo de energía pura y viceversa. Entonces tienes el caso en el que la masa de un protón es mucho mayor que las masas totales en reposo de los constituyentes internos, ya que el exceso de masa en reposo proviene del enorme impulso de los constituyentes que se mueven a velocidades relativistas. Por la misma lógica, el electrón mismo no debe ser más que un momento atrapado. Esto, por supuesto, va bien con nuestro conocimiento del electrón ... que tiene un giro mecánico real (según el experimento de Einstein-de-Hass), y también tiene un reloj interno, el Zitterbewegung que también está relacionado con el giro. Luego tienes el caso de un doble atrapamiento... donde tienes masas en reposo con altas velocidades atrapadas en una estructura más grande, como en el caso del núcleo. Esto nuevamente hace que la masa del núcleo sea mayor que la suma de las masas en reposo de los componentes internos. Pero tal diferencia comienza a ser cada vez menor a medida que la estructura se vuelve grande. Una materia caliente, por ejemplo, tiene una masa en reposo mayor que una fría, pero la diferencia no se puede medir, ya que es muy pequeña. También notamos que aquí estamos de acuerdo con la fórmula de Einstein E = mc ^ 2, ya que en una onda estacionaria tiene el doble de energía cinética ... eso es E = 2 * .5 mv ^ 2 = mv ^ 2 = mc ^ 2 como el la velocidad en nuestro caso es la de la luz.

La masa en física es una construcción matemática, y la masa de un objeto que se acerca$\infty$a medida que la velocidad de un objeto se acerca$c$es una consecuencia matemática de los postulados de la Relatividad Especial.