¿Cambia la frecuencia de la luz en los brazos del interferómetro LIGO?

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¿Cambia la frecuencia de la luz en los brazos del interferómetro LIGO?

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Jagerber48

Hay una serie de preguntas en Internet y en este sitio sobre cómo funciona la medición del interferómetro LIGO dado que la onda gravitatoria se extiende tanto a lo largo de los brazos del interferómetro como a la longitud de onda de la luz dentro de los brazos. Si la onda gravitacional cambia la longitud del brazo del interferómetro pero las marcas en la regla (períodos espaciales de luz) también se expanden, entonces no notará una diferencia en la longitud debido a la onda gravitacional. Esta es una paradoja bien explorada que a menudo surge en relación con las discusiones sobre la medición de ondas gravitacionales.

Esta pregunta se trata de que no entiendo la aparente resolución de esta paradoja. Déjame sentar las bases y alguien puede decirme dónde me desvío.

La solución a la aparente paradoja aparentemente es que no se mide la longitud de los brazos, sino el tiempo que pasa la luz en el brazo.

Imagine un interferómetro de Michelson con dos brazos de longitud $L_1=L_2=L_0$ . Un breve pulso de luz se dividió en los dos brazos en $t_0$ tomará tiempo $T_{1,2} = \frac{2L_{1,2}}{c}$ para atravesar cada brazo.

Si $L_1 = L_2$ entonces $T_1 = T_2$ y los dos pulsos de luz llegarán al detector al mismo tiempo.

Si llega una onda gravitacional entonces tenemos

\begin{aligned} L_{1}^{'} & = (1 + h) L_{1} \\ L_{2}^{'} & = (1 - h) L_{2} \end{aligned}

$\begin{align} L_1' &= (1+h)L_1\\ L_2' &= (1-h)L_2\\ \end{align}$

En este caso

\begin{aligned} T_{1}^{'} & = \frac{2 L_{0}}{C} (1 + h) \\ T_{2}^{'} & = \frac{2 L_{0}}{C} (1 - h) \end{aligned}

$\begin{align} T_1' &= \frac{2L_0}{c}(1+h)\\ T_2' &= \frac{2L_0}{c}(1-h)\\ \end{align}$

Entonces vemos que $\Delta T = T_1' - T_2' = \frac{4L_0}{c}$ . Habrá un retraso de tiempo entre los dos pulsos.

Por lo tanto, es claramente posible medir la presencia de una onda gravitacional usando pulsos de luz enviados por los dos brazos.

Lo que no entiendo es cómo sigue funcionando esta imagen cuando cambiamos de pulsos de luz a haces de luz continuos. El argumento es más o menos que el tiempo pasado en un brazo de interferómetro dado se traduce en una fase recopilada en un brazo de interferómetro dado. Dado que el tiempo empleado en cada brazo es ligeramente diferente, la fase recogida en cada brazo es diferente, esta diferencia de fase se mide en el detector.

Lo entiendo, pero aquí está mi problema. Creo que tenemos algo como

ϕ_{1, 2} = ω_{1, 2} T_{1, 2}

$\phi_{1,2} = \omega_{1,2} T_{1,2}$

Es decir, la fase recogida en un brazo en particular es la frecuencia de la luz en ese brazo multiplicada por el tiempo pasado en ese brazo. Si $\omega_1 = \omega_2 = \omega_0$ entonces está claro que debido a que el tiempo empleado en cada brazo es diferente, puede aparecer una fase relativa medible.

Sin embargo, de alguna manera me he convencido de que las frecuencias de la luz en cada brazo cambian de tal manera que cancelan el efecto... en algunas resoluciones a la paradoja original mencionada se afirma que es correcto que la longitud de onda de la luz se alarga por el mismo factor que la longitud total del brazo. Así que eso es:

λ_{1}^{'} = λ_{1} (1 + h)

$\lambda_1' = \lambda_1(1+h)$

Sabemos que la velocidad de la luz es constante por lo que

ω_{1, 2} = 2 π \frac{C}{λ_{1, 2}} ω_{1, 2}^{'} = 2 π \frac{C}{λ_{0}} \frac{1}{1 \pm h}

$\omega_{1,2} = 2\pi \frac{c}{\lambda_{1,2}}\\ \omega'_{1,2} = 2\pi \frac{c}{\lambda_0} \frac{1}{1\pm h}$

Desde

T_{1, 2}^{'} = \frac{2 L_{0}}{C} (1 \pm h)

$T'_{1,2} = \frac{2L_0}{c} (1\pm h)$

Tenemos

ϕ_{1, 2}^{'} = ω_{1, 2}^{'} T_{1, 2}^{'} = \frac{2 L}{C} \frac{2 π C}{λ_{0}} = 2 \times 2 π \frac{L}{λ_{0}}

$\phi'_{1,2} = \omega'_{1,2} T'_{1,2} = \frac{2L}{c} \frac{2\pi c}{\lambda_0} = 2\times 2\pi \frac{L}{\lambda_0}$

Es decir, no hay diferencia de fase entre los dos caminos y no se detecta ningún efecto. Básicamente, la paradoja original pregunta cómo la luz mide el cambio de longitud si la regla de longitud (período espacial de luz) cambia de la misma manera. La resolución aparente es que no se mide la longitud, sino el tiempo. Pero me parece que la regla del tiempo (períodos temporales de luz) cambia de manera compensatoria exacta para que el efecto también desaparezca en el dominio del tiempo.

¿Dónde me estoy equivocando?

editar: Respuesta a una posible identificación duplicada: ¿Mientras que la pregunta y las respuestas en LIGO fallaron por la expansión idéntica de la longitud de onda del láser y los brazos en presencia de una onda gravitacional? están muy relacionados con mi pregunta, no responden a la pregunta que estoy haciendo aquí. La respuesta de Kyle Kanos indica que $\phi \propto \omega_0 (L_1-L_2) h$ pero no se discute la posibilidad de que la frecuencia de la luz sea diferente en los dos brazos diferentes. Se supone que es lo mismo.

Más pensamientos que he tenido: he estado mirando las notas de la conferencia de Kip Thorn: http://www.pmaweb.caltech.edu/Courses/ph136/yr2012/1227.1.K.pdf

Creo que mi confusión está relacionada con la discusión entre el calibre transversal sin trazas (TT) y el calibre lorentz (LL) local. Parece que en el indicador TT, la longitud de onda de la luz cambia como se mencionó anteriormente, pero la frecuencia no .cambió. Entonces, para mi extrema sorpresa, parece que la velocidad de la luz es realmente diferente en los dos brazos diferentes. Si lo que digo aquí es correcto, la respuesta a mi pregunta sería que me equivoqué al suponer que la velocidad de la luz es la misma en ambos brazos. En el calibre LL, parece que la forma más fácil de pensar es que la longitud de los dos brazos cambia, pero no cambia ni la longitud de onda ni la frecuencia de la luz. Esta explicación tiene más sentido para mí y es a menudo como escucho que se describe LIGO. Parece agradable no tener que preocuparse de que la luz se vea afectada por la onda gravitacional...

edit2: consulte esta respuesta para obtener más información sobre el indicador TT vs LL ... esta puede ser la respuesta a mi pregunta si mi descripción anterior de la explicación de los dos indicadores es correcta: en TT, la velocidad de la luz y la longitud de onda (pero no la frecuencia) en los dos brazos cambia pero la longitud de los dos brazos es fija mientras que en LL la velocidad de la luz, la longitud de onda y la frecuencia son constantes mientras que la longitud de los dos brazos varía.

G. Smith

¿Posible duplicado de LIGO defectuoso por la expansión idéntica de la longitud de onda del láser y los brazos en presencia de una onda gravitacional?

G. Smith

Consulte aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.18578

Jagerber48

@G.Smith Gracias por los enlaces. Ninguno de estos responde a mi pregunta (que se indica como el título). La pregunta de intercambio de pila parece asumir que la onda gravitacional no cambia la frecuencia de la luz sin ningún comentario al respecto. También he estado leyendo el artículo de la AAPT que enviaste. Tiene una buena discusión que parece relevante para mi pregunta, pero no hay una discusión directa sobre la frecuencia de la luz. La conversión de pulsos a luz CW se realiza al final de la segunda sección, pero parece que se supone que la frecuencia de la luz es la misma en ambos brazos para obtener la fórmula de la fase.

Respuestas (3)

¿Cambia la frecuencia de la luz en los brazos del interferómetro LIGO?

¿Posible duplicado de LIGO defectuoso por la expansión idéntica de la longitud de onda del láser y los brazos en presencia de una onda gravitacional?
@G.Smith Gracias por los enlaces. Ninguno de estos responde a mi pregunta (que se indica como el título). La pregunta de intercambio de pila parece asumir que la onda gravitacional no cambia la frecuencia de la luz sin ningún comentario al respecto. También he estado leyendo el artículo de la AAPT que enviaste. Tiene una buena discusión que parece relevante para mi pregunta, pero no hay una discusión directa sobre la frecuencia de la luz. La conversión de pulsos a luz CW se realiza al final de la segunda sección, pero parece que se supone que la frecuencia de la luz es la misma en ambos brazos para obtener la fórmula de la fase.

ProfRob · Answer 1

ProfRob

La frecuencia de la luz es (casi) invariable en cada brazo.

El experimento mental es imaginar una onda gravitacional como una función escalonada que cambia abruptamente la longitud de los brazos (o más precisamente, la distancia entre las masas de prueba inerciales) y la longitud de onda de la luz que ya está en el instrumento .

Sin embargo, la luz que ingresa al instrumento después del cambio de paso tendrá una frecuencia y longitud de onda sin cambios, ya que la onda gravitacional no tiene efecto en los procesos que ocurren a nivel atómico en el láser NdYAG.

Siempre que la cantidad de tiempo que la luz pasa en los brazos sea menor que el tiempo que tardan los brazos en cambiar su longitud de manera significativa, entonces asumir una frecuencia fija es correcto.

Para un interferómetro simple esto significa que

\frac{2 L}{C} ≪ \frac{λ_{GRAMO W}}{C}

$\frac{2L}{c} \ll \frac{\lambda_{GW}}{c}$ es decir, que la longitud de onda de la onda gravitacional,

λ_{G W}

$\lambda_{GW}$ es mucho mayor que la longitud del camino recorrido en el interferómetro.

Esto debe modificarse, por supuesto, si se utiliza un resonador Fabry-Perot, lo que significa que la luz viaja muchas veces de un lado a otro (varios cientos de veces para aLIGO), lo que da como resultado una longitud de trayectoria total de alrededor de 1500 km. Esto significa que la sensibilidad del interferómetro comienza a declinar a frecuencias de ondas gravitacionales por encima de los 200 Hz.

Jagerber48

Dejame confirmar. Supongamos que el paso está en

t = 0

$t=0$ y llama el tiempo de ida y vuelta

T = \frac{2 L}{c}

$T = \frac{2L}{c}$ . Parece que estás diciendo por

0 < t ≪ T

$0<t\ll T$ tenemos eso

λ

$\lambda$ ,

ω

$\omega$ ambos están cambiados en los dos brazos. tambien tienes eso

L

$L$ es diferente para cada brazo y eso

c

$c$ es lo habitual

c

$c$ . Esto significa que durante este tiempo no debería haber un cambio de fase observable. ¿Es eso correcto? Entonces para

t ≫ T

$t\gg T$ tenemos eso

λ

$\lambda$ y

ω

$\omega$ volver a sus valores habituales para que

c

$c$ sigue siendo el mismo valor habitual en ambos brazos, pero dado que

L

$L$ es diferente para los dos brazos hay un cambio de fase observable. ¿correcto?

Jagerber48

Estoy un poco confundido acerca de por qué la luz que ya está en el instrumento se estira mientras que la luz que no está en el instrumento no se estira. los brazos están completamente en el GW, así como toda la instrumentación (incluido el láser). Si la luz en el interferómetro se estira a

λ^{'}

$\lambda'$ entonces pensaría que la nueva luz que sale del láser también se estiraría ... ¿aparentemente no?

Jagerber48

Además, por "en el instrumento" ciertamente no puede querer decir en los brazos del interferómetro. estirarse también. ¿Es esto correcto? Entonces parece que está diciendo que toda la luz "fuera del láser" se estira para

λ^{'}

$\lambda'$ y

ω^{'}

$\omega'$ pero la "nueva luz" que sale del láser sale como

λ

$\lambda$ y

ω

$\omega$ . ¿Es esto correcto?

Jagerber48

y para estar completamente seguro, ¿está diciendo que SÍ, durante un período de tiempo, la frecuencia de la luz en los dos brazos del interferómetro cambia y SÍ, la velocidad de la luz es la misma en los dos brazos?

ProfRob

¡Una onda gravitatoria no "estira" los átomos en el láser! La luz que no está en el instrumento aún no existe. Cuando se emite, tiene la frecuencia y la longitud de onda habituales del cuadro de laboratorio. La distancia entre el láser y el divisor de haz es pequeña en comparación con la longitud de la trayectoria en los brazos del interferómetro.

Jagerber48

sí que más o menos tiene sentido para mí. ¿Puede confirmar que para su modelo 1) que

c

$c$ es constante en ambos brazos para todo el tiempo 2) que para

t > 0

$t>0$ eso

L_{1}

$L_1$ y

L_{2}

$L_2$ son desiguales para todos los tiempos 3) para

0 < t < T

$0<t<T$ eso

λ_{1} \neq λ_{2}

$\lambda_1 \neq \lambda_2$ y

ω_{1} \neq ω_{2}

$\omega_1 \neq \omega_2$ y no hay cambio de fase medible y 4) para

t > T

$t>T$ eso

λ_{1} = λ_{2}

$\lambda_1=\lambda_2$ y

ω_{1} = ω_{2}

$\omega_1=\omega_2$ y hay un cambio de fase medible.

ProfRob

@jgerber Casi todo eso parece correcto en el caso de una función de paso GW y en el "marco de laboratorio". Excepto (3), el cambio de fase se construiría desde cero en

t = 0

$t=0$ al máximo en

t = T

$t=T$ .

Jagerber48

Creo que no hay un cambio de fase observable hasta que

t = T

$t=T$ . La razón es que toda la "luz original" que había en el interferómetro en

t = 0

$t=0$ que se estiró hasta

λ_{1, 2}^{'}

$\lambda'_{1,2}$ y

ω_{1, 2}^{'}

$\omega'_{1,2}$ no puede dar un cambio de fase por los argumentos dados en la pregunta. Solo cuando la "nueva luz" llega al detector se puede observar un cambio de fase. Francamente, encuentro este comportamiento extraño y no estoy seguro de si es correcto. si

T ≪ T_{G W}

$T\ll T_{GW}$ dónde

T_{G W}

$T_{GW}$ es el período de la onda gravitacional, entonces este tiempo transitorio inicial

T

$T$ puede ser ignorado.

Gary Godofredo · Answer 2

Para una onda continua de luz láser, un borde descendente de la onda sinusoidal (de la amplitud del campo eléctrico) del láser se divide en dos bordes descendentes (en el espejo divisor) y luego baja por los dos brazos. El borde descendente de la onda senoidal se comporta como el borde delantero de su pulso para el argumento de retardo de tiempo.

La segunda parte de tu pregunta en la que una c constante y de tensión opuesta $\lambda_1$ , $\lambda_2$ producir $\omega_1 \neq \omega_2$ también me ha desconcertado, pero por una razón diferente. Si bien concluye que elimina cualquier cambio de fase GW entre las dos rutas, no puedo entender cómo el espejo divisor pasivo en presencia de una tensión GW constante convierte una frecuencia de entrada de luz láser en dos frecuencias de salida diferentes. Pregunté esto en una pregunta de Physics Stack: ¿Cómo causa el espejo divisor de LIGO dos frecuencias diferentes cuando hay un GW presente? , pero no he recibido respuestas.

Debido al espejo divisor, concluyo que en presencia de GW, $\omega_1 = \omega_2$ . Entonces tambien:

1) c es igual a lo largo de ambos brazos y por lo tanto $\lambda_1=\lambda_2$ . Esto contradice el argumento estándar en el sitio web de LIGO y en las conversaciones de LIGO que dicen $\lambda_1 \ne\lambda_2$ porque $\lambda$ tensiones como la longitud de los brazos (supongo que por sentido común, ya que no conozco un argumento GR para ello). Sin embargo, incluso si $\lambda_1=\lambda_2$ , el borde de ataque de la luz láser tomará tiempos diferentes a lo largo de los dos brazos, y el patrón de interferencia cambiará... por lo tanto, LIGO puede detectar GW.

O

2) $\lambda_1 \ne\lambda_2$ y por lo tanto $c_1 \ne c_2$ . Es extraño tener dos velocidades de la luz ya que estamos acostumbrados a decir "la velocidad de la luz es la misma en todos los marcos de referencia... que están relacionados por una transformación de Lorentz que deja la métrica de Minkowski sin cambios". Las tensiones causadas por las masas de GW y Schwarzschild cambian la métrica de Minkowski (y por lo tanto c) como lo demuestra el retraso de Shapiro, donde un observador lejano ve que la luz se ralentiza cuando pasa cerca del Sol. Si $c_1 \ne c_2$ , luego, con un argumento ligeramente similar al suyo, se puede demostrar que la luz va más rápido a lo largo del brazo largo y más lento a lo largo del brazo corto, de modo que el borde de ataque de la luz láser tomará el mismo tiempo a lo largo de ambos brazos, y el patrón de interferencia no cambiará … por lo tanto, LIGO no puede detectar GW.

Dado que LIGO parece haber detectado GW, el argumento (1) parece ser correcto y $\lambda$ no se tensa por un GW. El GW deja c, $\omega$ , y $\lambda$ lo mismo a lo largo de ambos brazos, y solo cambia la longitud de los brazos. Debido a que la longitud de los brazos ha cambiado, he estado pensando en el calibre Local Lorentz.

sí, esto es muy parecido a lo que estoy pensando. Con respecto a 1) esto tiene más sentido para mí. Nosotros decimos eso $\lambda_1 = \lambda_2$ , $\omega_1=\omega_2$ , $c_1=c_2$ y $L_1 \neq L_2$ entonces obtenemos un cambio de fase. Creo que la mayoría de las presentaciones de LIGO que he visto adoptan este punto de vista, por lo que no es necesariamente contradictorio con todo lo que dice LIGO.
Con respecto a 2) esto suena como el indicador TT en el documento de Thorne. En el razonamiento donde $\lambda_1 \neq \lambda_2$ , $\omega_1 = \omega_2$ lo conseguimos $c_1 \neq c_2$ . Pero en el calibre TT aparentemente $L_1 = L_2$ por lo que un efecto es todavía observable. También me he preguntado cómo el divisor de haz podría permitir $\omega_1 \neq \omega-2$ . Parece extraño, pero la métrica del espacio-tiempo es diferente en $x$ y $y$ así que no sé ... También prefiero la explicación 1) ya que parece sencilla e intuitiva. No te preocupes por el estiramiento de la luz, solo el espacio entre los espejos.

ana v · Answer 3

Mientras que las ondas electromagnéticas astrofísicas suelen ser mucho más pequeñas que sus fuentes, desde unos pocos kilómetros hasta longitudes de onda subnucleares, las ondas gravitacionales son más grandes que sus fuentes, con longitudes de onda que comienzan en unos pocos kilómetros y alcanzan el tamaño del Universo.

Esto es para aclarar que existe una gran diferencia en la longitud de onda entre las ondas electromagnéticas y gravitatorias.

Los láseres LIGO

El rayo láser que ingresa a los interferómetros de LIGO comienza dentro de un diodo láser, que utiliza electricidad para generar un rayo de luz láser de infrarrojo cercano de 4 vatios (W) y 808 nm.

En el momento en que la onda gravitatoria ha realizado un ciclo, de longitud de onda de un kilómetro (la estimación más baja anterior), por ejemplo, el láser ha emitido millones de fotones que forman un tren de al menos un millón de picos y valles. En lo que respecta a una onda individual de pico a valle, la gravedad no cambia para dos pulsos que llegan al mismo tiempo, por lo que la frecuencia del láser no cambia durante las mediciones de tiempo. Hasta los fotones $h*ν$ va, ven un campo gravitatorio constante dentro de al menos $10^{-6}$ , el exponente mucho más negativo si se tiene en cuenta el tamaño de las fuentes.

Al menos así lo entiendo intuitivamente y confío en los cálculos realizados por el equipo de LIGO para la representación exacta.

Sí, ciertamente tiene razón en que la tensión gravitacional es esencialmente constante entre picos sucesivos (o cercanos de luz láser). Por lo tanto estos picos llegan con la misma frecuencia por cualquier argumento. Pero el cambio de frecuencia en la pregunta de Op está entre el cero de la onda sinusoidal GW y su pico 0,01 segundos después, cuando la tensión es máxima (y efectivamente constante) en la parte superior plana de la onda sinusoidal de tensión GW. Por lo tanto, la discusión es sobre si el GW podría causar una luz láser de frecuencia diferente en los dos brazos del interferómetro mientras se encuentra en la parte superior plana del GW, mientras que no hay diferencia cuando la tensión de GW = 0.
@GaryGodfrey, mi argumento es que .o1 segundos después son eones para los pulsos láser, pero la amplitud de la onda de gravedad ha cambiado infinitesimalmente el campo de gravedad que ve el pulso láser, dentro de los errores de medición no medibles

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