¿Podría (antiguo) LIGO haber detectado GW150914?

Para ampliar la respuesta de HDE, LIGO inicial de hecho no habría detectado GW150914, pero no es tan simple como que la tensión máxima esté por debajo de la curva en el gráfico de sensibilidad: el tiempo de integración también es importante.

Estas tramas pueden ser engañosas; las curvas que muestran no representan una tensión mínima detectable. De hecho, las unidades en el eje y de estas gráficas son$\mathrm{Hz}^{-1/2}$, mientras que la cepa GW no tiene dimensiones, ¡así que no puedes compararlas! Es totalmente posible detectar una señal que alcanza un pico muy por debajo de la curva de ruido, siempre que esté dentro de la banda durante el tiempo suficiente.

Las curvas que ve que describen las sensibilidades del detector LIGO muestran convencionalmente la densidad espectral de amplitud del ruido del detector. Mientras tanto, el umbral para una detección está determinado por la relación señal-ruido (SNR) del filtrado coincidente (Wiener) . Suponiendo que conocemos la forma de la señal$h$de antemano (véanse las advertencias a continuación), esto se define en términos del producto interno ponderado por el ruido de$h$consigo mismo:

$$\mathrm{SNR}^2 = \left<h,h\right> \equiv \int_0^\infty \frac{4|\tilde{h}(f)|^2}{S_n(f)}\,\mathrm{d}f$$ dónde$S_n(f)$es la densidad espectral de potencia del ruido (es decir, el cuadrado de lo que se muestra en los gráficos de sensibilidad). Por lo tanto, la SNR depende de la composición espectral de la señal y su superposición con el ancho de banda del detector.

Si imagina esto en el dominio del tiempo (teorema de Parseval), la SNR (cuadrada) en realidad se acumula en proporción al número de ciclos que la forma de onda pasa dentro de la banda. Para una fuente monocromática, esto es proporcional al tiempo de integración. Por ejemplo, si$\tilde{h}(f) = \delta(f-f_0)h_0$y, sin pérdida, la PSD de ruido es una constante$S_n(f_0)$, entonces la SNR viene dada por:

$$\mathrm{SNR}^2 = \frac{2}{S_n}\int_{-\infty}^\infty|\tilde{h}(f)|^2\,\mathrm{d}f = \frac{2}{S_n}\int_{-\infty}^\infty|h(t)|^2\,\mathrm{d}t$$ Por lo tanto, desde$|h(t)| = h_0$, para una ventana de observación finita$T$, la SNR escala con$\sqrt{T}$: $$\mathrm{SNR} = \sqrt{\frac{2T}{S_n}}h_0$$

Entonces, aproximémonos a GW150914 como una fuente monocromática. Leyendo las parcelas en el papel de detección, digamos que tiene una frecuencia promedio de$f_0 \approx 60 \ \mathrm{Hz}$, una amplitud de$h_0\approx 5\times10^{-22}$, y una duración de$T \approx 0.2\ \mathrm{s}$. Luego, leyendo una cepa ASD de$\sqrt{S_n(f_0)} \approx 10^{-22}$para LIGO inicial, obtendríamos una SNR de alrededor de 3, que no cumple con el umbral de detección estándar de 8 (también, vea las advertencias a continuación).

Hay una discusión mucho más completa sobre las curvas de sensibilidad del detector en este documento ; ¡vale la pena leerlo! Una cantidad más útil, descrita en este documento, es la tensión característica , que intenta dar cuenta de la evolución de la frecuencia de una señal inspiral como GW150914, para facilitar la comparación entre la sensibilidad del detector y la amplitud de la tensión.

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Advertencias: en la práctica, es más complicado que el modelo de filtro combinado, ya que el ruido del detector es molestamente no estacionario y no gaussiano. Hay algoritmos de búsqueda más sofisticados que usan cosas como vetos de calidad de señal y$\chi^2$discriminantes que rechazan las respuestas espurias del filtro adaptado. También hay algoritmos de búsqueda que no requieren un conocimiento previo de la forma de onda de la señal y pueden detectar ráfagas no modeladas. En realidad, fue este tipo de búsqueda genérica la que detectó GW150914; las referencias están disponibles en el documento de detección .

También tenga en cuenta que la SNR definida anteriormente es la SNR óptima que obtiene si:

1. filtras el flujo de datos con la señal exacta que estás buscando, y
2. la realización de ruido es cero.

Dado que la media del ruido es cero, el número 2 anterior es equivalente a tomar la expectativa de la SNR sobre todas las realizaciones de ruido.

En la práctica, no conocemos la señal precisa a priori y se pierde algo de SNR en la aproximación. Para una forma de onda candidata$u$, la SNR esperada (sobre todas las realizaciones de ruido) viene dada por

$$\mathrm{SNR} = \frac{\left<u,h\right>}{\|u\|}$$

Tengo una cita directa del sitio web :

El evento no se habría registrado en los detectores de primera generación de LIGO; el hecho de que apareció con sorprendente claridad tanto en L1 como en H1 indica el salto en el rendimiento del detector que ha producido el programa Advanced LIGO.

Este fue un problema de sensibilidad: en la mayoría de las frecuencias, Advanced LIGO es más sensible a la tensión que LIGO por un factor de 10 .

Hild (2012) ofrece una descripción general de los detectores de primera y segunda generación, incluido este gráfico:

La onda detectada tenía una tensión máxima de$\thicksim 10^{-21} ~\mathrm{1/\sqrt{\textrm{Hz}}}$y se detectó en frecuencias entre$35$y$250~\textrm{Hz}.$Una parte de esto cae en el rango de sensibilidad original de LIGO. Sin embargo, como muestra la Figura 3 del documento de detección avanzada de LIGO , la mayoría cae por debajo de ella.

Con respecto a las probabilidades de detección, las estimaciones anteriores decían que Advanced LIGO debería poder observar$\thicksim 40$estrella de neutrones "eventos inspiradores", y$\thicksim 30$eventos binarios de agujeros negros del mismo tipo. Esto se atribuiría en parte a la reducción de ruido, lo que facilita la observación de áreas más grandes. El grupo dice que la detección de la tasa de eventos aumentaría en 3000 luego de las actualizaciones de sensibilidad.

A pesar de mis esperanzas, parece que LIGO antiguo no habría detectado GW150914. Suspiro...

A partir del anuncio del descubrimiento de GW150914, creé un facsímil de la señal de tensión medida:

A partir de ese documento y también del resumen de la Serie 6 del LIGO original , en 2009-2010, digitalicé las densidades espectrales de amplitud de los dos:

A partir de estas entradas, calculé las curvas características de tensión y ruido:

Al integrarlos según la referencia muy útil identificada por Will Vousden, calculo los siguientes resultados para la relación señal-ruido$\rho$para un filtro coincidente:

$$\begin{equation*} \begin{array}{lcccc} \text{detector} & \rho & \chi_r^2 & \hat{\rho} & \hat{\rho_c} \\ \text{aLIGO} & 18.73 & 1.44 & 16.69 & 23.6 \\ \text{LIGO run 6} & 4.88 & 1.44 & 4.35 & 6.2 \end{array} \end{equation*}$$

Aquí:

• $\rho$es la relación señal/ruido calculada para el detector.
• la$\chi_r^2$la estadística mide qué tan cerca la señal coincide con la plantilla de forma de onda esperada. Este valor no fue informado, que pude ver; Lo elegí para obtener el resultado final correcto para aLIGO y luego usé el mismo valor para LIGO Run 6.
• $\hat{\rho}$penaliza$\rho$basado en el valor de$\chi_r^2$.
• $\hat{\rho}_c$tiene en cuenta la señal observada por ambos detectores LIGO: las dos relaciones señal-ruido se suman en cuadratura (así que aquí el valor se multiplica por$\sqrt{2}$.)

Dado que la relación señal-ruido de Run 6$\rho < 8$, habría sido muy difícil reclamar una detección: en esta revisión de la búsqueda de Run 6 de señales de fusión/inspiral de agujeros negros masivos, la Figura 2 muestra que las señales con estos valores de$\rho$y$\chi_r^2$quedarían enterrados en eventos de ruido.

Curiosamente, esa misma revisión incluye la Figura 1, que parece mostrar un evento de 60 masas solares totales detectable hasta aproximadamente 470 Mpc (con orientación favorable), lo que incluiría la mayor parte del rango de distancia informado de$410_{-180}^{+160}$Mpc. No puedo explicar la discrepancia.