¿Cambia el momento angular de giro con el marco de referencia?

El espín de una partícula se define por su momento angular intrínseco y, como tal, se define en el marco de reposo de la partícula. Entonces, su vector de giro cuatro en el marco de descanso debe tomar la forma

$$S^\mu = (0, \mathbf S)$$ Donde el 3-vector$\mathbf S$es su conocido giro no relativista.

El cuatro vector se transformará precisamente así, en la representación vectorial del grupo de Lorentz, por lo que en un marco arbitrario tendrá componentes

$$S^\mu = (s, \mathbf S'),$$ donde como la longitud del vector es invariante debemos tener$-s^2 + \mathbf S^{\prime 2}= \mathbf S^2$. De hecho, podemos demostrar que la componente cero del vector de espín es proporcional a la helicidad de la partícula (una invariante):$s = h|\mathbf p|$dónde$\mathbf p$es el momento (no invariante) de la partícula en cualquier marco en el que se encuentre y h es su helicidad. La helicidad es esencialmente la proyección del giro de la partícula en la dirección de su movimiento, como tal, para las partículas sin masa, el giro coincide con la helicidad.

Podemos dar una forma explícita para el vector de espín siguiendo a Pauli-Lubanski que tiene las propiedades mencionadas anteriormente. Let (su notación)

$$W^\mu := \frac{1}{2} \varepsilon^{\mu}{} _{\nu \alpha \beta} P^\nu M^{\alpha \beta }$$ Con$P^\nu$las componentes de los cuatro impulsos y$M^{\alpha \beta }$los generadores (valorados en matriz) del grupo de Lorentz (para los vectores, esto es solo el momento angular orbital, pero para la representación de giro 1/2 hay una pieza adicional que involucra el$\gamma$matrices). Tenga en cuenta que en el marco de descanso,$P^\nu = (t, \mathbf 0)$y la antisimetría del tensor Levi-Civita implica que$W^0=0.$podemos obtener una relación más general que esta al notar que en todos los marcos de referencia$P_\mu W^\mu =0$por lo que el vector de espín es covariantemente ortogonal a la velocidad de la partícula.

De hecho, el (pseudo-)vector de Pauli-Lubanski es un Casimiro del grupo de Poincaré y se usa ampliamente en la clasificación de representaciones irreducibles del grupo de Lorentz.

Finalmente, OP preguntó sobre las contribuciones orbitales (L) y de espín (S): los generadores de Lorentz se construyen a partir de la suma de un término orbital y un término de espín,

$$M^{\mu \nu} = x^\mu p^\nu - x^\nu p^\mu + S^{\mu \nu}$$ donde el término final depende del modelo (para el campo de Dirac es proporcional a$[\gamma^\mu, \gamma^\nu]$). Los generadores se transforman en el representante de dos tensores del grupo de Lorentz, lo que asegura que el vector de espín se transforme en el representante fundamental, es decir, como un vector de cuatro.