Aparición del espín de la relatividad especial

Históricamente (la ecuación de Dirac se menciona en la respuesta de @Kasi) y fenomenológicamente (por ejemplo, ¿ electrodinámica escalar o QED? ), Uno puede ver la conexión entre el giro y la relatividad especial donde esta última se interpreta como "cosas que se mueven rápido".

Pero desde una perspectiva matemática/lógica, no estoy de acuerdo.

En primer lugar, si solo está etiquetando su partícula con una flecha en el espacio, no veo por qué necesitaría$SO(1,3)$en lugar de lo sencillo$SO(3)$.
Como nota al margen interesante, el grupo de Poincaré está dado por$\mathcal{P} = SO(1,3) \ltimes \mathbb{R}^{1,3}$mientras que el grupo de Galileo viene dado por$\mathcal{G} = (SO(3)\ltimes \mathbb{R}^3) \times (\mathbb{R}^1 \times \mathbb{R}^3)$. En ambos casos, puedes encontrar fundas dobles como$SO(1,3) \xleftarrow{2:1} SL(2,\mathbb{C})$y$SO(3) \xleftarrow{2:1} SU(2)$. El argumento de la doble cubierta es clave para determinar que solo puede haber dos formas distintas de permutar partículas idénticas en 3D, es decir, fermiones y bosones. Entonces uno puede llegar a esta conclusión también dentro de las transformaciones de Galileo. Si asigna espines a fermiones y bosones, se dará cuenta de que necesita$SL(2,\mathbb{C})$para representar partículas de espín-1/2.

Dejando de lado esa digresión, creo que todo se reduce a la causalidad .

Para que su teoría sea causal , la acción de los operadores sobre los estados no puede ser más rápida que la velocidad de la luz. Esto es especialmente importante para eventos separados similares al espacio. En estas situaciones, recurres al grupo de simetrías del espacio-tiempo. Para geometrías no curvas (planas), este es el grupo de Poincaré (que comprende también las transformaciones de Lorentz), y estamos en el ámbito de la relatividad especial . Las representaciones del grupo de Poincaré, es decir, las cosas con las que necesitas hacer matemáticas, están etiquetadas de forma única por masa y espín.

Entonces, en conclusión, creo que el espín surge de la relatividad especial no "porque se mueve rápido", sino porque esta última es el marco que rige las transformaciones entre diferentes eventos (en el espacio y el tiempo), lo cual es necesario para garantizar la causalidad. La causalidad que requiere ser aplicada es la razón por la cual la mecánica cuántica (y sus intentos de corrección relativista) deben abandonarse en algún momento a favor de la teoría cuántica de campos.

¿La razón por la que la invariancia de Lorentz introduce el giro está relacionada de alguna manera con la necesidad de etiquetar y realizar un seguimiento de los extremos de la cabeza y la cola de una partícula relativista, y que no es necesario realizar un seguimiento de eso para las partículas de movimiento lento?

Creo que esta es una afirmación un poco engañosa. En mecánica cuántica no relativista, la función de onda de un electrón en la base de posición será generalmente una función$\psi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{C}$. Así que aquí, en cada punto del espacio, la función de onda es escalar. Incluso en la mecánica cuántica no relativista, si asumimos que la función de onda no es escalar y, en cambio, es un vector, entonces esa partícula tendrá espín (en este caso, el espín es 1). Dentro de la mecánica cuántica no relativista, utilizando las propiedades de conmutación del momento angular, podemos demostrar que los valores propios del espín son siempre múltiplos enteros de$\frac{1}{2}$. Para el momento angular orbital${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$podemos demostrar que los valores propios son siempre números enteros. Pero${\displaystyle \mathbf {L} }$es solo el generador de rotaciones que asignará$\vec{\psi}(x,y,z)$a$\vec{\psi}(x',y',z')$pero no girará el$\vec{\psi}(x,y,z)$sí mismo.

Lea la página 324 de Principios de la mecánica cuántica de Ramamurti Shankar para comprender el giro en la mecánica cuántica no relativista. Entonces, incluso la mecánica cuántica no relativista dice mucho sobre el espín.

La mecánica cuántica relativista va un paso más allá y, si asumimos que la ecuación es lineal en el tiempo, entonces la función de onda no puede ser escalar, debe ser un espinor (intuitivamente, son como raíces cuadradas de vectores). La invariancia de Lorentz no implica que deba existir un giro. Por ejemplo, la ecuación de Klein-Gordon tiene espín cero (es decir, la función de onda es escalar). Al igual que en la mecánica cuántica no relativista, en la mecánica cuántica relativista, los valores propios del momento angular son siempre múltiplos enteros de$\frac{1}{2}$. Inicialmente, se asumió que la ecuación de Klein-Gordon era la ecuación relativista para los electrones (tanto la ecuación de Klein-Gordon como la de Dirac se reducen a la ecuación de Schrödinger en el límite no relativista). Pero después de detectar el espín de los electrones, se abandonó por la ecuación de Dirac . La ecuación de Dirac debe ser de la forma

$${\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}}$$ para que satisfaga${\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}$y ser lineal en el tiempo. Se puede demostrar que$\alpha_i$y$\beta$deben ser al menos matrices de 4 dimensiones. Si las tomamos como matrices de 4 dimensiones eso implica que$\psi$es una matriz de columnas de 4 componentes. La ecuación de Klein-Gordon satisface${\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}$pero no es lineal en coordenadas espacio-temporales.

La ecuación de Pauli es el límite no relativista de la ecuación de Dirac y explica el giro. Si no hay campos electromagnéticos, se reducirá a la ecuación de Schrödinger.

$${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$$

No necesitas la relatividad especial para explicar el giro. Los efectos de giro son observables en el límite no relativista. Es una consecuencia de la linealización de las ecuaciones cuánticas.

Dirac tomó el espectro de energía relativista$E=\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}$y escribió una ecuación de onda que es lineal en derivadas de espacio y tiempo$p\to-i\hbar\nabla$y$E\to i\hbar\partial_t$. Descubrió que esto solo podía resolverse con funciones de onda de 4 componentes (dos bispinores, el segundo representando antipartículas).

Puedes hacer lo mismo que hizo Dirac con el espectro no relativista y linealizar$E=p^2/2m$y encontrar ecuaciones de Lévy-Leblond que sean equivalentes a la ecuación de Pauli (ecuación de Schrödinger para espín 1/2), que requiere una función de onda de espinor de dos valores. Esto sucede porque el espín aparece como uno de los Casimiros del álgebra de Galilei, que no es relativista. El espín es ciertamente un efecto cuántico, pero no necesariamente relativista.