Uso clásico vs. cuántico del vector de espín 4

El componente de tiempo del vector de Pauli-Lubanski es igual a la helicidad multiplicada por la magnitud del momento (tres):

$w^0 = \lambda ||\mathbf{p}|| =\mathbf{j}.\mathbf{p}$

Dónde$\lambda$es la helicidad,$\mathbf{j}$es el momento angular (total) y$\mathbf{p}$es el impulso de tres. Véase el siguiente artículo de Carineña, García-Bondía, Lizzi, Marmo y Vitale (la segunda fórmula del apartado 2). Por favor, vea también la siguiente fórmula donde se escribe la transformación de los componentes espacial y temporal del vector de Pauli-Lubanski bajo un impulso general:

$w^0 \rightarrow cosh(\xi)w^0 + sinh(\xi) \mathbf{n}.\mathbf{w}$.

$\mathbf{w } \rightarrow \mathbf{w} - sinh(\xi)w^0 \mathbf{n} + (cosh(\xi)-1) (\mathbf{n}.\mathbf{w}) \mathbf{w}$.

Dónde$\mathbf{w}$son las componentes espaciales del vector de Pauli-Lubanski.$\xi$es la rapidez,$\mathbf{n}$es la dirección de impulso

Ahora es fácil deducir las propiedades del componente de tiempo de Pauli-Lubanski por inspección:

1) Para una partícula sin espín, este componente es idénticamente cero en todos los marcos de referencia:

2) Para una partícula sin masa y una transformación de Lorentz que conserva el impulso. El momento angular gira alrededor del vector de momento (rotación de Wigner) de modo que se conserva la helicidad. Esto se debe a que para un impulso 4 similar a la luz, el vector de Pauli-Lubanski debe ser proporcional al vector de impulso, por lo tanto, su componente de tiempo no cambia bajo una transformación de Lorentz que preserva el impulso.

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La razón es la siguiente: para una partícula sin masa, el 4-vector de Pauli-Lubanskii es similar a la luz. Teniendo en cuenta que siempre es ortogonal al 4 vector de impulso (que también es similar a la luz en este caso), los dos vectores deben ser proporcionales (dos vectores ortogonales similares a la luz deben ser proporcionales). El factor de proporcionalidad es simplemente la relación entre la helicidad (componente de tiempo del vector de Pauli-Lubanski) y la energía (componente de tiempo del 4-momentum). Esto sugiere que cuando la energía cinética de una partícula es mucho mayor que su masa en reposo, los vectores de Pauli-Lubanski y de momento tienden a alinearse. Para ver eso más explícitamente, se puede usar la expresión de los componentes espaciales de Pauli-Lubanski en términos de los vectores de espín y momento para una partícula masiva:

$\mathbf{w} = m \mathbf{s} + \frac{ \mathbf{p}.\mathbf{s}}{p_0+m}\mathbf{p}$.

A partir de esta fórmula, está claro que cuando la velocidad de la partícula se vuelve grande, el segundo término domina y el 3-vector de componentes espaciales de Pauli-Lubanski se alinea casi con el 3-vector de componentes espaciales de cantidad de movimiento.