Comprender por qué una métrica estacionaria y esféricamente simétrica es automáticamente estática

Ese es solo un concepto muy básico de cómo elige las coordenadas (curvas).

Tal vez piense primero en el ejemplo de un sistema de coordenadas euclidianas. Ahí está su vector base de coordenadas$\partial_x$también es ortogonal a las superficies de constante$x$.

Lo mismo se aplica también a las coordenadas curvas.

Si lo desea, también puede parametrizar su superficie$T=const.$como una función de$S_T=S_T(r,\theta,\phi)$, construye los vectores tangenciales$\partial_r S_T, \partial_\theta S_T, \partial_\phi S_T$y comprobar que estos son ortogonales a$\partial_T$(usar que la métrica es diagonal).

Otro ejercicio fácil es simplemente construir el vector normal a la superficie: Caracterizar la superficie como una función escalar de las coordenadas$f(T,r,\theta,\phi)$y el requisito$f=0$. Calcule el vector normal que está definido por:

(Por supuesto, ambos 'cálculos' son equivalentes).

Como dije en mi comentario anterior, no pude encontrar ningún libro de Blau. En sus notas de clase en la página 481, hace la transformación que mencionas. En detalle comienza con la métrica en$(t,r)$en la ecuación 23.1 que tiene términos diagonales, hace la transformación 23.3 que introduce$T$, luego encuentra un adecuado$\psi$, y finalmente reescribe la métrica en (T y r) sin los términos de la diagonal , pero...- sin decirlo explícitamente - en vez de usar la nueva$T$lo vuelve a renombrar$t$en la ecuación 23.5. Es solo una operación de cambio de nombre usando una variable antigua, nada especial. No agradable, pero desafortunadamente común. Estas son notas para estudiantes avanzados que se supone que deben ver esto en un abrir y cerrar de ojos. Lo vuelve a hacer unas pocas líneas después cuando presenta$R(r)$solo para renombrarlo de nuevo$r$en la siguiente ecuación.