Cálculo de una integral de trayectoria gaussiana con una restricción de modo cero

$a(\tau)$es una función en$[0,1]$para que puedas expandirlo en una serie de Fourier

$$a(\tau) = c \tau + a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos( 2\pi n \tau) + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin( 2\pi n \tau)$$ En su pregunta, no ha especificado ninguna condición límite en$a(\tau)$así que no sé si es periódico o no. La aperiodicidad de$a(\tau)$es capturado por el primer término anterior. Dada su respuesta final, creo que se supone que debe ser periódica, así que voy a establecer$c=0$.

Usando esto, encontramos

$$\int_0^1 d\tau a^2 = a^2_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n^2 + \sum_{n=1}^\infty b^2_n , \qquad \int_0^1 d\tau a = a_0$$ La medida de la integral de trayectoria es $$\int {\cal D} a = {\cal N} \int_{-\infty}^\infty da_0\prod_{n=1}^N\int_{-\infty}^\infty da_n db_n$$ ${\cal N}$es una normalización global que arreglaremos volviendo a normalizar la integral de trayectoria. Tenga en cuenta que también hemos introducido un corte UV$N$. El$N \to \infty$se tomará el límite después de volver a normalizar.

Volviendo a poner todo en la integral de trayectoria, tenemos

$$\begin{align} Z &= \int {\cal D} a \delta \left( \int_0^1 d\tau a - {\bar \mu} \right) \exp \left( - \frac{1}{g^2} \int_0^1 d\tau a^2 \right) \\ &= {\cal N} \int_{-\infty}^\infty da_0\prod_{n=1}^N \int_{-\infty}^\infty da_n db_n \delta ( a_0 - {\bar \mu}) \exp \left( - \frac{a_0^2}{g^2} - \frac{1}{g^2} \sum_{n=1}^N a_n^2 - \frac{1}{g^2} \sum_{n=1}^N b^2_n ] \right) \end{align}$$ La integral sobre$a_0$se localiza debido a la función Delta. Las integrales restantes son gaussianas simples. Por lo tanto, $$\begin{align} Z &= {\cal N} ( g^2 \pi )^N \exp \left( - \frac{{\bar \mu}^2}{g^2} \right) \end{align}$$ Ahora podemos establecer${\cal N} = \alpha ( g^2 \pi )^{-N}$dónde$\alpha$es una constante finita arbitraria y luego se toma la$N \to \infty$límite por lo que obtenemos $$\begin{align} Z &= \alpha \exp \left( - \frac{{\bar \mu}^2}{g^2} \right) . \end{align}$$ Ahora, sin ninguna información extra, la normalización$\alpha$de$Z$no se puede arreglar Sin embargo, OP parece hacer esta pregunta en el contexto del documento 2112.03793 (esto me lo aclaró en los comentarios de @ɪdɪətstrəʊlə) donde los autores imponen la condición de normalización $$\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int d {\bar \mu} Z = 1 \quad \implies \quad \alpha = \frac{1}{g}.$$ En resumen, $$Z = \frac{1}{g} \exp \left( - \frac{{\bar \mu}^2}{g^2} \right)$$

Si bien la respuesta de @Prahar es correcta cuando se trata del comportamiento exponencial, es decir, el modo cero, no estoy de acuerdo con su forma de obtener el prefactor. El$\frac{1}{g}$el comportamiento es crucial y no una cuestión de normalización . En particular, ignoran que en tales cálculos uno debe regularizar en función zeta los determinantes resultantes$^*$.

Antes de profundizar en el sector de modo distinto de cero, permítanme describir el efecto del modo cero en aras de la exhaustividad. si descomponemos$a$en$a= a_0 + a'$, dónde$a_0$es una constante (el modo cero) y$a'$son funciones periódicas no constantes y sin vueltas (y por lo tanto$\int_0^1 \mathrm{d}\tau \;a' = 0$), está claro que

$$\int_0^1\mathrm{d}\tau a = a_0$$ y$\mathrm{D}a=\mathrm{d}a_0\; \mathrm{D}a'$. Entonces la función delta solo afectará el modo cero y, por lo tanto, $$Z=\int \mathrm{d}a_0\ \delta\left(a_0-\bar{\mu}\right)\ \mathrm{e}^{-{a_0^2}/{g^2}}\ Z_\text{non-zero-mode}[g] = \exp\!\left(-\frac{\bar{\mu}^2}{g^2}\right)\ Z_\text{non-zero-mode}[g].$$

Ahora, el sector de modo distinto de cero es gaussiano y libre de restricciones y se lee simplemente

$$\begin{aligned} Z_\text{non-zero-mode}[g] &= \int \mathrm{D}a' \exp\!\left(-\frac{1}{g^2}\int \mathrm{d}\tau \ a^2\right) = \\ &= \left[\det'\!\left(\frac{1}{g^2}\mathbb{I}\right)\right]^{-1/2} = \\ &= \left(\prod_{n\neq 0} \frac{1}{g^2}\right)^{-1/2} = \prod_{n=1}^\infty g^2 \overset{\zeta}{=} \frac{1}{g}.\end{aligned}$$ dónde$\mathbb{I}$es el operador de identidad que actúa sobre el espacio de funciones periódicas y$\det'$excluye el modo cero, que se trata por separado anteriormente. La última igualdad se entiende en la regularización de la función zeta$^\dagger$

en total tenemos

$$\begin{aligned}Z[g,\bar{\mu}] &=\int\mathrm{D}a\ \delta\left(\int_0^1\mathrm{d}\tau a - \bar{\mu}\right)\ \exp\!\left(-\frac{1}{g^2}\int\mathrm{d}\tau a^2\right)=\\ &=Z_\text{non-zero-mode}[g,\bar{\mu}]\ Z_\text{zero-mode}[g,\bar{\mu}] = \\ &= \frac{1}{g}\ \exp\!\left(-\frac{\bar{\mu}^2}{g^2}\right), \end{aligned}$$ obteniendo la respuesta deseada.

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$^*$Como señaló @Prahar en un comentario, se puede usar un método de regularización diferente y se debe obtener el mismo$g^{-1}$comportamiento. Sin embargo, no se puede simplemente configurar la normalización de la función de partición para obtener el resultado deseado, ya que la normalización ya está fijada en este caso.

$^\dagger$Recuerda eso$\prod_{n=1}^\infty \text{constant} \overset{\zeta}{=} \exp(\log(\text{constant})\ \zeta(0))=\frac{1}{\sqrt{\text{constant}}}$.