Encontrar el hamiltoniano efectivo en un cierto subespacio

Question

Encontrar el hamiltoniano efectivo en un cierto subespacio

Física
materia Condensada
mecánica cuántica
teoría de la perturbación
teoría del campo efectivo

Hossein

Para encontrar el hamiltoniano efectivo en un subespacio que está energéticamente bien separado del resto del espacio de Hilbert, la gente trata de encontrar una transformación unitaria que haga que el hamiltoniano bloque-diagonal en ese subespacio. Habitualmente este procedimiento se realiza perturbativamente y se dispone de las fórmulas correspondientes -normalmente de segundo orden-. Pero vi en alguna parte que el hamiltoniano efectivo satisface la relación compacta:

\frac{1}{mi - H_{mi F F}} = {PAG}_{s} \frac{1}{mi - H} {PAG}_{s}

$\frac{1}{E-H_{eff}}=P_s \frac{1}{E-H} P_s$

Dónde $P_s$ es el operador de proyección en el subespacio del que queremos su hamiltoniano efectivo.

Entonces, ¿de dónde viene la relación anterior? También será muy útil si menciona algunas referencias sobre diferentes formas de obtener hamiltonianos efectivos de manera sistemática.

Vi la fórmula anterior en el libro "Electrones interactivos y magnetismo cuántico" de Auerbach.

ruben verresen

Solo una nota al margen para hacer una conexión con la teoría de perturbaciones habitual, donde estamos naturalmente interesados en

P H^{k} P

$P H^k P$ para todo entero

k

$k$ (es decir, cómo el hamiltoniano puede conectar diferentes estados en nuestro subespacio). Esta lista infinita de operadores puede ser capturada por una sola función generadora

f (ϵ) = P \frac{1}{1 - ϵ H} P

$f(\epsilon) = P \frac{1}{1-\epsilon H} P$ . De hecho, por la identidad de la serie geométrica sabemos que algebraicamente

f (ϵ) = P (\sum_{n = 0}^{\infty} ϵ^{n} H^{n}) P

$f(\epsilon) = P \left( \sum_{n = 0}^\infty \epsilon^n H^n \right) P$ tal que

P H^{k} P = \frac{d^{k} f}{d ϵ^{k}} |_{ϵ = 0}

$PH^kP = \frac{\mathrm d^k f}{\mathrm d \epsilon^k} \big|_{\epsilon = 0}$ .

ruben verresen

[continuación] Tenga en cuenta que

G_{eff} (E) = P \frac{1}{E - H} P = \frac{f (\frac{1}{E})}{E}

$G_\textrm{eff}(E) = P \frac{1}{E-H} P = \frac{f\left( \frac{1}{E} \right)}{E}$ , entonces en un nivel algebraico

G_{eff} (E)

$G_\textrm{eff}(E)$ captura toda la información que queremos para nuestra teoría de perturbaciones convencional.

Respuestas (2)

Encontrar el hamiltoniano efectivo en un cierto subespacio

Solo una nota al margen para hacer una conexión con la teoría de perturbaciones habitual, donde estamos naturalmente interesados en $P H^k P$ para todo entero $k$ (es decir, cómo el hamiltoniano puede conectar diferentes estados en nuestro subespacio). Esta lista infinita de operadores puede ser capturada por una sola función generadora $f(\epsilon) = P \frac{1}{1-\epsilon H} P$ . De hecho, por la identidad de la serie geométrica sabemos que algebraicamente $f(\epsilon) = P \left( \sum_{n = 0}^\infty \epsilon^n H^n \right) P$ tal que $PH^kP = \frac{\mathrm d^k f}{\mathrm d \epsilon^k} \big|_{\epsilon = 0}$ .
[continuación] Tenga en cuenta que $G_\textrm{eff}(E) = P \frac{1}{E-H} P = \frac{f\left( \frac{1}{E} \right)}{E}$ , entonces en un nivel algebraico $G_\textrm{eff}(E)$ captura toda la información que queremos para nuestra teoría de perturbaciones convencional.

Everett usted · Answer 1

Este enfoque es fácil de entender si se da cuenta de que $1/(E-H)$ no es más que el propagador (la función de Green) $G(E)=(E-H)^{-1}$ . Entonces, este enfoque simplemente significa que el propagador efectivo $G_\text{eff}(E)=(E-H_\text{eff})^{-1}$ se obtiene restringiendo el propagador completo al subespacio de interés $G_\text{eff}(E)=P_sG(E)P_s$ . Uno puede preguntarse por qué no proyectar el hamiltoniano directamente al subespacio sino proyectar el propagador. La razón es que todos los observables físicos se miden con respecto a la matriz de densidad $\rho(E)=-2\Im G(E+i0_+)$ , que es la parte imaginaria del propagador. Por ejemplo, el valor esperado de un operador $A$ evaluado en un estado propio de la energía $E$ es dado por

\bar{A} (mi) = Tr \hat{A} ρ (mi) = - 2 Tr \hat{A} ℑ GRAMO (mi + i 0_{+}) .

$\bar{A}(E)=\text{Tr}\hat{A}\rho(E)=-2\text{Tr}\hat{A}\Im G(E+i0_+).$

Ahora supongamos que solo estamos interesados en los observables físicos en el subespacio de Hilbert $\mathcal{H}_s$ , entonces la información del propagador $G(E)$ en este subespacio será suficiente para reproducir todos los resultados de la medición y, por lo tanto, una descripción "efectiva" del subsistema. El hamiltoniano que producirá el propagador efectivo se considera, por lo tanto, como el hamiltoniano efectivo del subsistema. Por supuesto, el hamiltoniano efectivo generalmente solo se calcula perturbativamente en algún orden, por lo que se introducen aproximaciones. Pero imagine si pudiéramos encontrar el hamiltoniano efectivo para todos los órdenes, entonces estaría de acuerdo con el hamiltoniano completo en cualquier medida física que tenga lugar en el subsistema (o el subespacio).

Tome un problema simple de mecánica cuántica, por ejemplo. Considere un sistema de dos niveles descrito por el hamiltoniano

H = [\begin{matrix} 0 & t \\ t & tu \end{matrix}],

$H=\left[\begin{matrix}0&t\\t&U\end{matrix}\right],$

dónde $t\ll U$ se trata como una perturbación. en el limite de $t\to 0$ , obtenemos dos niveles de las energías 0 y $U$ respectivamente. Ahora estamos interesados en la corrección de energía al nivel de baja energía (el nivel alrededor de la energía 0). Así que primero calculamos el propagador del sistema.

GRAMO = \frac{1}{mi - H} = [\begin{matrix} \frac{mi - tu}{{mi}^{2} - mi tu - t^{2}} & \frac{t}{{mi}^{2} - mi tu - t^{2}} \\ \frac{t}{{mi}^{2} - mi tu - t^{2}} & \frac{mi}{{mi}^{2} - mi tu - t^{2}} \end{matrix}] .

$G=\frac{1}{E-H}=\left[\begin{matrix}\frac{E-U}{E^2-E U-t^2} & \frac{t}{E^2-E U-t^2} \\ \frac{t}{E^2-E U-t^2} & \frac{E}{E^2-E U-t^2} \end{matrix}\right].$

El propagador efectivo para el nivel de baja energía se obtiene restringiendo el propagador al subespacio de baja energía, es decir, tomando el $\mathcal{P}_1 G(E) \mathcal{P}_1=G(E)_{11}$ componente (en la primera línea y primera columna),

{GRAMO}_{efecto} (mi) = \frac{mi - tu}{{mi}^{2} - mi tu - t^{2}} .

$G_\text{eff}(E)=\frac{E-U}{E^2-E U-t^2}.$

Ahora deseamos construir un hamiltoniano efectivo $H_\text{eff}$ tal que el propagador efectivo puede ser producido por $G_\text{eff}(E)=1/(E-H_\text{eff})$ . Encontramos

H_{efecto} = \frac{t^{2}}{mi - tu} .

$H_\text{eff}=\frac{t^2}{E-U}.$

Notamos eso $H_\text{eff}$ es también una función de $E$ , porque la física puede cambiar con respecto a la escala de energía. Para encontrar la energía propia, se puede resolver la ecuación de Schrödinger $H_\text{eff}(E)|\psi\rangle=E|\psi\rangle$ . Debido a que el subespacio solo contiene un solo estado, en este caso, el estado propio simplemente se fija con respecto a la base del subespacio (pero en realidad varía implícitamente con $E$ en la base original del espacio completo), y la energía propia viene dada por $t^2/(E-U)=E$ , cuya solución es

mi = \frac{1}{2} (tu \pm \sqrt{{tu}^{2} + 4 t^{2}}) .

$E=\frac{1}{2}\big(U\pm\sqrt{U^2+4t^2}\big).$

Se puede ver que el hamiltoniano efectivo, si se calcula exactamente para todos los pedidos, aún contiene el espectro del sistema completo. Pero, en general, solo podemos calcular perturbativamente el hamiltoniano efectivo. En ese caso, solo tendrá sentido evaluar el hamiltoniano efectivo en torno al nivel de energía no perturbado. Así que evaluamos $H_\text{eff}(E)$ en $E=0$ y encuentre el resultado de la perturbación de segundo orden $H_\text{eff}(E=0)=-t^2/U$ . Para obtener correcciones de orden superior, retroalimentamos la energía de segundo orden al hamiltoniano efectivo y encontramos el resultado que es exacto al cuarto orden en $t/U$ , es decir $H_\text{eff}(E=-t^2/U)=-t^2/U+t^4/U^3+\mathcal{O}[t^6]$ . De esta forma, podemos obtener las correcciones perturbativas orden a orden recursivamente.

¡Buena respuesta! Sólo dos preguntas: 1) ¿Está claro que en principio $H_\textrm{eff}$ captura el espectro completo? Puedo verlo en su ejemplo anterior, pero no puedo ver si es o no un artefacto de su modelo simple o algo general. 2) ¿Sabe cómo se relaciona la definición que cita con la definición $e^{-iH_\textrm{eff} t} = P e^{-iHt} P$ ? Tenga en cuenta que esto $H_\textrm{eff}$ dependería de $t$ , similar a cómo la definición que discutes depende de $E$ . Al principio pensé que podrían ser iguales (después de una sustitución natural $E \leftrightarrow \frac{1}{t}$ ) pero no puedo verlo bien.
@RubenVerresen 1) si $H_\text{eff}$ se evalúa en todos los órdenes, entonces debería contener el espectro completo. 2) definir el propagador en el dominio del tiempo como $G(t)=e^{-iHt}$ , entonces tu definición es simplemente $G_\text{eff}(t)=PG(t)P$ , que está relacionado con $G_\text{eff}(\omega)=PG(\omega)P$ aplicando la transformada de Fourier $G(\omega)=i\int \text{d} t G(t)e^{i\omega t}$ en ambos lados (tenga en cuenta que el operador de proyección $P$ es independiente del tiempo, por lo que puede entrar o salir de la integral libremente).
¡Gracias! 2) ¡Suena bien! 1) Hm pero tomemos por ejemplo el caso $H = \left( \begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array} \right)$ (dónde $A$ y $B$ son matrices hermitianas arbitrarias) y $P$ es la proyección sobre el primer bloque. Entonces $P \frac{1}{E-H} P = (E-A)^{-1}$ que claramente no contiene información sobre $B$ . ¿Estoy pasando por alto algo?
@RubenVerresen Bueno, excepto por el límite de enfermedad cuando la perturbación está completamente desactivada, los dos subespacios no se comunican entre sí...
Muchas gracias por esta linda explicación. Estoy interesado en cómo calcular el hamiltoniano efectivo a través del método de perturbación de segundo orden, porque solo conozco la forma habitual de obtener la corrección de energía de la teoría de la perturbación de segundo orden. En su sistema simple de dos niveles, la corrección de energía de la perturbación de segundo orden es
exactamente igual a $-\frac{t^2}{U}$ , que parece lo mismo que $H_{eff}$ . Me pregunto si no es un accidente sino algo más general. ¿Podría mostrar más sobre los detalles de cálculo sobre el hamiltoniano efectivo de la teoría de la perturbación?
Generalmente, si $H=\left[\begin{matrix}H_{AA}&H_{AB}\\H_{BA}&H_{BB}\end{matrix}\right]$ y nos gustaría saber el hamiltoniano efectivo en el subespacio A. $G=\frac{1}{E-H}=\left[\begin{matrix}E-H_{AA}&-H_{AB}\\-H_{BA}&E-H_{BB}\end{matrix}\right]^{-1}$ , el propagador efectivo en el subespacio A es $G_{AA}=(E-H_{AA}-H_{AB}(E-H_{BB})^{-1}H_{BA})^{-1}=\frac{1}{E-H_{eff}}$ . Entonces sabemos que el hamiltoniano efectivo en el subespacio A es $H_{eff}=H_{AA}+H_{AB}(E-H_{BB})^{-1}H_{BA}$ . Entonces, ¿cómo obtener la corrección del hamiltoniano efectivo orden por orden?

kevin escoria · Answer 2

Everett explicó muy bien la relación compacta. En cuanto a las referencias, https://arxiv.org/abs/1005.2495 y https://arxiv.org/abs/1105.0675 (más matemáticas) son buenas. Además, el hamiltoniano efectivo se calcula hasta el sexto orden en el apéndice B de https://arxiv.org/abs/1704.03870 utilizando la formulación de Schrieffer-Wolff de la teoría de la perturbación degenerada. (Soy autor de este.)

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