Cálculo de la eficiencia de un motor de Carnot para gas fotónico

Question

Cálculo de la eficiencia de un motor de Carnot para gas fotónico

Anónimo

Estoy trabajando en un problema considerando el ciclo de Carnot para un gas fotónico. El ciclo tiene dos procesos isotérmicos en $T_{H}$ y $T_{C}$ y dos procesos adiabáticos.

La entropía del gas fotón es $S(U,V)=bU^{0.75}V^{0.25}$ de la que he derivado

tu = a T^{4} V

$U=aT^{4}V$ y

PAG = \frac{1}{3} a T^{4}

$P=\dfrac{1}{3}aT^{4}$

dónde $a=(\dfrac{3b}{4})^{4}$ .

Quiero calcular el trabajo realizado y el calor absorbido en cada uno de los cuatro procesos del ciclo de Carnot, luego calculo la eficiencia $\eta$ del motor (que, por ser un motor de Carnot, será $\dfrac{T_{H}-T_{C}}{T_{H}}$ ).

He etiquetado mi ciclo con 1 en la esquina inferior derecha, 2 en la esquina inferior izquierda, 3 en la esquina superior izquierda y 4 en la esquina superior derecha.

Luego, a lo largo de las curvas adiabáticas (2--> 3 y 4 --> 1): $\Delta Q=0$ . Así que para el 2--> 3

W = {tu}_{3} - {tu}_{2} = a (T_{H}^{4} V_{3} - T_{C}^{4} V_{2})

$W= U_{3}-U_{2}=a(T_{H}^{4}V_{3}-T_{C}^{4}V_{2})$

Y para el 4-->1:

W = {tu}_{1} - {tu}_{4} = a (T_{C}^{4} V_{1} - T_{H}^{4} V_{4})

$W= U_{1}-U_{4}=a(T_{C}^{4}V_{1}-T_{H}^{4}V_{4})$

A lo largo de las trayectorias isotérmicas, ya que $dU=aT^{4}dV+4aT^{3}VdT=at^{4}dV$ , sabemos por la primera ley que

d tu = Δ q - pag d V = a T^{4} d V

$dU=\Delta Q- p dV=aT^{4}dV$ .

Así que a lo largo de 3 --> 4: $W= \dfrac{1}{3}aT_{H}^{4}(V_{4}-V_{3})$ y $\Delta Q=\frac{4}{3}aT^{4}(V_{4}-V_{3})$ .

A lo largo de 1 --> 2, $W=\dfrac{1}{3}aT_{C}^{4}(V_{2}-V_{1})$ .

Entonces

η = \frac{a [T_{H}^{4} (V_{3} - V_{4}) + T_{C}^{4} (V_{1} - V_{2})] + \frac{1}{3} a T_{H}^{4} (V_{4} - V_{3}) + \frac{1}{3} a (T_{C}^{4} (V_{2} - V_{1}))}{\frac{4}{3} a T_{H}^{4} (V_{4} - V_{3})}

$\eta=\frac{a\left[T_{H}^{4}\left(V_{3}-V_{4}\right)+T_{c}^{4}\left(V_{1}-V_{2}\right)\right]+\dfrac{1}{3}aT_{H}^{4}(V_{4}-V_{3})+\dfrac{1}{3}a(T_{C}^{4}(V_{2}-V_{1}))}{\dfrac{4}{3}aT_{H}^{4}(V_{4}-V_{3})}$

cual, utilizando $T^{3}V=const.$ mostrar $V_{1}=(\frac{T_{H}}{T_{C}})^{3}V_{4}$ y $V_{2}=(\frac{T_{H}}{T_{C}})^{3}V_{3}$ , me conecto para encontrar:

η = \frac{T_{C} - T_{H}}{2 T_{H}}

$\eta=\frac{T_{C}-T_{H}}{2T_{H}}$

¡Lo cual está mal por un factor de -2!

¿Cómo elimino este factor incorrecto de -2?

Además, he hecho otros trabajos y descubrí que eso $\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{V_{4}}{V_{3}}$

Empuje

Aunque no conozco el ciclo de Carnot para fotones, creo que es cierto. Porque es justo el caso del gas ideal.

usuario44816

Cometí un error antes (utilicé la ecuación del gas ideal para expresar p, en lugar de la ecuación del gas fotónico), pero ahora lo he solucionado. Todavía estoy tratando de eliminar la dependencia de los volúmenes para obtener la eficiencia de Carnot. ¿Hay alguna forma en que deba ajustar mi pregunta para alentar una respuesta?

usuario44816

He estado utilizando la suposición de que, a lo largo de los caminos isotérmicos,

d U = 0

$dU=0$ , pero dada la fórmula para

U

$U$ dada anteriormente, ¿es esta una suposición válida? Y, si no es válido, ¿cómo calculo el calor absorbido/expulsado, a lo largo de las curvas isotérmicas?

Empuje

Lo siento, no estoy familiarizado con el caso de los fotones. pero creo que el

Δ U

$\Delta U$ durante un proceso particular depende completamente de

U

$U$ la ecuación de Y como has demostrado,

U = a T^{4} V

$U=aT^4 V$ , pienso a lo largo de caminos isotérmicos

V

$V$ también participará en

Δ U

$\Delta U$ .

Respuestas (1)

Cálculo de la eficiencia de un motor de Carnot para gas fotónico

Aunque no conozco el ciclo de Carnot para fotones, creo que es cierto. Porque es justo el caso del gas ideal.
Cometí un error antes (utilicé la ecuación del gas ideal para expresar p, en lugar de la ecuación del gas fotónico), pero ahora lo he solucionado. Todavía estoy tratando de eliminar la dependencia de los volúmenes para obtener la eficiencia de Carnot. ¿Hay alguna forma en que deba ajustar mi pregunta para alentar una respuesta?
He estado utilizando la suposición de que, a lo largo de los caminos isotérmicos, $dU=0$ , pero dada la fórmula para $U$ dada anteriormente, ¿es esta una suposición válida? Y, si no es válido, ¿cómo calculo el calor absorbido/expulsado, a lo largo de las curvas isotérmicas?
Lo siento, no estoy familiarizado con el caso de los fotones. pero creo que el $\Delta U$ durante un proceso particular depende completamente de $U$ la ecuación de Y como has demostrado, $U=aT^4 V$ , pienso a lo largo de caminos isotérmicos $V$ también participará en $\Delta U$ .

usuario44816 · Answer 1

A lo largo de los caminos adiabáticos,

Δ q = 0

$\Delta Q=0$ entonces

d tu = - pag d V

$dU=-pdV$ lo que significa que el trabajo realizado está dado por

W = - Δ tu

$W=-\Delta U$ .

Esto cambia los valores que propuse en mi pregunta.

De hecho:

A lo largo de la transición 2 --> 3

W = {tu}_{2} - {tu}_{3} = a (T_{C}^{4} V_{2} - T_{H}^{4} V_{3})

$W=U_{2}-U_{3}=a(T_{C}^{4}V_{2}-T_{H}^{4}V_{3})$

A lo largo de la transición 4 --> 1

W = {tu}_{4} - {tu}_{1} = a (T_{H}^{4} V_{4} - T_{C}^{4} V_{1})

$W=U_{4}-U_{1}=a(T_{H}^{4}V_{4}-T_{C}^{4}V_{1})$

Esta corrección produce

η = \frac{a [T_{H}^{4} (V_{4} - V_{3}) + T_{C}^{4} (V_{2} - V_{1})] + \frac{1}{3} a T_{H}^{4} (V_{4} - V_{3}) + \frac{1}{3} a (T_{C}^{4} (V_{2} - V_{1}))}{\frac{4}{3} a T_{H}^{4} (V_{4} - V_{3})}

$\eta=\frac{a\left[T_{H}^{4}\left(V_{4}-V_{3}\right)+T_{c}^{4}\left(V_{2}-V_{1}\right)\right]+\dfrac{1}{3}aT_{H}^{4}(V_{4}-V_{3})+\dfrac{1}{3}a(T_{C}^{4}(V_{2}-V_{1}))}{\dfrac{4}{3}aT_{H}^{4}(V_{4}-V_{3})}$

Y desde $T^{3}V=constant$ a lo largo de las curvas adiabáticas, podemos usar las sustituciones:

V_{1} = (\frac{T_{H}}{T_{C}})^{3} V_{4}

$V_{1}=(\frac{T_H}{T_{C}})^{3}V_{4}$ y

V_{2} = (\frac{T_{H}}{T_{C}})^{3} V_{3}

$V_{2}=(\frac{T_H}{T_{C}})^{3}V_{3}$ para resolver nuestra respuesta final, que es la eficiencia de Carnot esperada:

η = \frac{T_{H} - T_{C}}{T_{H}}

$\eta=\frac{T_{H}-T_{C}}{T_{H}}$

Cálculo de la eficiencia de un motor de Carnot para gas fotónico

Anónimo

Empuje

usuario44816

usuario44816

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usuario44816

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