Calcular la transformada de Fourier de tiempo discreto inverso

Necesitamos jugar un poco con el diseño de la expresión. Tenemos:

$$F=\frac{(1+a)(1-a)}{(1-ae^{\ jw})(1-ae^{\ -jw})} =\frac{(1+a)}{(1-ae^{\ -jw})}\frac{(1-a)}{(1-ae^{\ jw})}$$

Podemos reescribirlo como:

$$=\left( \frac{1}{(1-ae^{\ -jw})}+\frac{a}{(1-ae^{\ -jw})}\right) \left( \frac{1}{(1-ae^{\ jw})}-\frac{a}{(1-ae^{\ jw})}\right) \\ $$

Factorizamos un$-ae^{\ jw}$de los términos más a la derecha y hacer la transformada inversa:

$$= \left( \frac{1}{(1-ae^{\ -jw})}+a\frac{1}{(1-ae^{\ -jw})}\right) \left( -\frac{1}{a}\frac{e^{\ -jw}}{(1-\frac{1}{a}e^{\ -jw})}+\frac{e^{\ -jw}}{(1-\frac{1}{a}e^{\ -jw})}\right) \\ \implies \left( a^nu[n]+a(a^nu[n]) \right) * \left( -\tfrac{1}{a}({\tfrac{1}{a}}^nu[n-1])+({\tfrac{1}{a}}^nu[n-1]) \right)$$

Por último, limpieza:

$$= \left( a^nu[n](1+a) \right) * \left (\tfrac{1}{a}^{n-1}u[n-1](1-\tfrac{1}{a}) \right)$$

Lo siento si es demasiado desordenado. Fourier tiende a escribir mucho. ¡Dime dónde crees que puedo haber cometido un error o no está claro! Si alguien encuentra un error, por favor hágamelo saber.

¿Esto se comprueba?

$$\begin{align*} X(e^{j\omega}) &= X_1(e^{j\omega}) \cdot X_2(e^{j\omega}) \\ X_1(e^{j\omega}) &= \frac{1-a^2}{1-ae^{-j\omega}} \\ X_2(e^{j\omega}) &= \frac{1}{1-ae^{j\omega}} \\ x_1[n] &= (1-a^2) a^nu[n] \\ x_2[n] &= a^{-n}u[-n] \\ x[n] &= x_1[n] * x_2[n] \\ x[n] &= \sum\limits_{k=-\infty}^\infty x_1[k] x_2[n-k] \\ x[n] &= \sum\limits_{k=0}^\infty (1-a^2) a^k a^{k-n}u[k-n] \\ x[n] &= (1-a^2) a^{-n} \sum\limits_{k=0}^\infty (a^2)^k u[k-n] \\ x[n] &= \begin{cases} (1-a^2) a^{-n} \sum\limits_{k=n}^\infty (a^2)^k & n \ge 0\\ (1-a^2) a^{-n} \sum\limits_{k=0}^\infty (a^2)^k & n < 0\\ \end{cases} \\ x[n] &= \begin{cases} (1-a^2) a^{-n} \frac{a^{2n}}{1-a^2} & n \ge 0\\ (1-a^2) a^{-n} \frac{1}{1-a^2} & n < 0\\ \end{cases} \\ x[n] &= \begin{cases} a^{n} & n \ge 0\\ a^{-n} & n < 0\\ \end{cases} \\ x[n] &= a^{|n|} \\ \end{align*}$$