EOM de Heisenberg para ⟨x⟩⟨x⟩\langle x \rangle en estado propio de impulso: ¿dónde está mi error?

Question

EOM de Heisenberg para ⟨x⟩⟨x⟩\langle x \rangle en estado propio de impulso: ¿dónde está mi error?

allan kane

Ecuación de movimiento para el valor esperado de una partícula cuántica en un estado propio de momento:

\frac{d}{d t} ⟨ X ⟩ = \frac{1}{i h} ⟨ [X, H] ⟩

$\frac{d}{dt} \langle x \rangle = \frac{1}{i h} \langle [x,H] \rangle$

y dado que está en un estado propio de impulso,

\frac{1}{i h} ⟨ [X, H] ⟩ = \frac{1}{i h} ⟨ pag | [X, H] | pag ⟩

$\frac{1}{i h} \langle [x,H] \rangle = \frac{1}{i h} \langle p \vert [x,H] \vert p \rangle$

Ampliando esto,

\frac{1}{i h} ⟨ pag | (X \frac{{pag}^{2}}{2 metro} + X V (X)) - (\frac{{pag}^{2}}{2 metro} X + V (X) X) | pag ⟩ = \frac{1}{i h} (\frac{{pag}^{2}}{2 metro} - \frac{{pag}^{2}}{2 metro}) ⟨ pag | X | pag ⟩ + \frac{1}{i h} ⟨ pag | [X, V (X)] | pag ⟩ = 0

$\frac{1}{i h} \langle p \vert (x \frac{p^2}{2m} + xV(x)) - (\frac{p^2}{2m}x + V(x)x)\vert p \rangle = \frac{1}{i h} (\frac{p^2}{2m} - \frac{p^2}{2m}) \langle p \vert x \vert p \rangle + \frac{1}{i h} \langle p \vert[x,V(x)] \vert p \rangle = 0$

desde $V$ es $V(x)$ . Pero $\frac{d}{dt}\langle x \rangle = \frac{p}{m}$ . ¿Dónde está mi error?

Coraje

Tenga en cuenta que

\hat{p}

$\hat p$ es un operador, no puedes usarlo como una variable

petirrojo

Pista: que es

⟨ p | x | p ⟩

$\langle p | x | p \rangle$ ?

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/14116/2451 y enlaces allí.

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Tenga en cuenta que $\hat p$ es un operador, no puedes usarlo como una variable
Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/14116/2451 y enlaces allí.

petirrojo · Answer 1

Bueno, ya sabes que la función propia de $\hat p$ es $\exp(ipx)$ , así que tratemos de encontrar cuál es el valor esperado de $x$ es, para empezar:

⟨ pag | X | pag ⟩ = \int Exp (- i pag X) X Exp (i pag X) d X = \int X d X

$\langle p | x | p\rangle = \int \exp(-ipx) x \exp(ipx) \, dx = \int x\, dx$ y esta integral no existe . Entonces no debería ser una sorpresa que tratar de tomar la derivada del tiempo no tenga sentido. La razón subyacente es que

\exp (i p x)

$\exp(ipx)$ no es normalizable. Esta respuesta a una pregunta similar brinda más detalles sobre cómo resolver esto.

¡gracias! esto dio en el clavo. <x'|p|x''>=ih delta(x'-x'')/(x'-x'') que aclara mi confusión (y es consistente con la forma del operador de impulso en la base de posición ya que delta(x)/x= - d delta(x)/dx

andrii magalich · Answer 2

Actualización : Los comentarios de Robin señalaron mi confusión.

Considera lo siguiente:

[X, {pag}^{2}] = X pag pag - pag pag X = X pag pag - pag X pag + pag X pag - pag pag X = [X, pag] pag + pag [X, pag] = 2 i h pag

$[x, p^2] = x p p - p p x = x p p - p x p + p x p - p p x = [x,p] p + p [x,p] = 2 i h p$

Si conecta esto en la expresión inicial, obtendrá exactamente lo que esperaría de este observable: $p/m$ .

Pero las manipulaciones formalmente correctas que realizó proporcionan una respuesta diferente, mostrando que algo no está bien. Para la conclusión, vea la respuesta de Robin.

Respuesta original errónea:

No puede tomar el término de impulso fuera del promedio: el impulso p es un operador que no conmuta con x.

-1: Dado que el estado es un estado propio de $\hat p$ , puedes reemplazar $\hat p$ con el valor propio $p$ (actuando a la izquierda sobre el sujetador ya la derecha sobre el ket).
No, creo que no puedes. Siguiendo tu lógica, lo siguiente es cierto: $\langle x p \rangle = \langle x \rangle p$ y por lo tanto $\langle [x,p] \rangle = 0$ .
Debe asegurarse de que todas las cantidades involucradas realmente existan, consulte aquí physics.stackexchange.com/q/14116/2451
Pero puedo obtener la respuesta correcta si uso la relación de conmutación de x y p, esto es confuso
@RobinEkman Actualicé mi respuesta para evitar más confusiones. Tengo una pregunta para usted: ¿tiene algún sentido considerar la evolución de la $\langle x \rangle$ ? Si evito evaluar esta expresión en el lado derecho, obtengo una respuesta físicamente buena. Pero tenemos al menos 2 formas de sacar tonterías (la tuya y la de la pregunta de arriba)

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Coraje

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