Buscando una prueba de que se conserva el momento relativista Usando los primeros principios

La conservación de la energía-momento es un principio fundamental en la relatividad; está "incorporado" a la ecuación de Einstein

$$G^{ab}=8\pi G T^{ab}.$$ Se puede probar para las interacciones en la teoría cuántica de campos, pero esa es una prueba sólida. De lo contrario, lo mejor es tomarlo como un principio fundamental (también se puede probar a partir del teorema de Noether, pero eso depende de una reformulación equivalente de las leyes de Newton y el argumento puede verse como circular).

En cuanto a la otra parte de tu pregunta,$4$-momento, o energía-momento$(E,\mathbf p)$, es un$4$-vector. Así que no hay nada que probar.$4$-los vectores son iguales en todos los marcos. Tal vez pueda ayudar si define la velocidad$4$-vector para un cuerpo en reposo$v=(1,0,0,0)$, y obtiene su forma después de la transformación de Lorentz. Entonces puedes definir$4$-impulso en la forma habitual

$$p = mv.$$

Dado que el OP pide encontrar el, y cito aquí,

fórmula para el momento relativista bajo el requisito de conservación del momento para marcos inerciales

(la última palabra es mi conjetura y tiene más sentido), hacemos lo siguiente.

Primero definimos las órbitas de las partículas como funciones$x^\mu(\tau)$en el espacio-tiempo, donde$\tau$es un parámetro invariante de Lorentz arbitrario. la acción es

$$A=\int d\tau\ L(x^\mu(\tau),\dot x^\mu(\tau),\tau)$$ dónde$\dot x^\mu(\tau)$denota la derivada con respecto al parámetro$\tau$. Si el lagrangiano depende solo de productos escalares invariantes de la forma$x^\mu x_\mu,x^\mu\dot x_\mu,\dot x^\mu \dot x_\mu$, entonces es invariante bajo transformaciones de Lorentz $$x^\mu\to \dot x^\mu=\Lambda^\mu_\nu x^\nu$$ dónde$\Lambda$satisface$\Lambda g\Lambda^T=g$con$g_{\mu\nu}=(1,-1,-1,-1)$.

Para una partícula puntual masiva libre en el espacio-tiempo, el Lagrangiano es

$$L=-mc\sqrt{g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu}.$$ es invariante bajo$\tau\to f(\tau)$arbitraria y suficientemente suave$f$. Bajo traducciones como $$\delta_sx^\mu(\tau)=x^\mu(\tau)-\epsilon^\mu(tau)$$ el lagrangiano es invariante, satisfaciendo$\delta_sL=0$. Así, aplicando Euler-Lagrange para calcular la varianza, obtenemos $$0=\int_{\tau_\mu}^{\tau_\nu}d\tau\left(\frac{\partial L}{\partial x^\mu}\delta_sx^\mu+\frac{\partial L}{\partial \dot x^\mu}\delta_s\dot x^\mu\right)=-\epsilon^\mu\int_{\tau_\mu}^{\tau_\nu}d\tau\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x^\mu}\right).$$

Por lo tanto, los cargos de Noether son

$$-\frac{\partial L}{\partial\dot x^\mu}=mc\frac{\dot x^\mu(\tau)}{\sqrt{g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu}}=mcu^\mu\equiv p^\mu$$

y satisface

$$\frac{d}{d\tau}p^\mu(\tau)=0$$

Esta es la conservación de 4-momentum, una vez que observamos que$p^\mu$es de hecho el 4-momentum que se puede notar definiendo$\tau$ser el tiempo físico$t=x^0/c$. También tenga en cuenta que$u^\mu$es la 4-velocidad adimensional de la partícula y, por lo tanto, el 4-momentum conserva su aspecto de la mecánica newtoniana.

Por lo tanto, si uno puede estar de acuerdo con el Lagrangiano, entonces la definición de 4-momentum como la carga conservada de Noether cae de las definiciones y Euler-Lagrange.

En una colisión, la conservación de la cantidad de movimiento 4 se puede describir mediante un polígono (al igual que un diagrama de fuerzas de cuerpo libre sobre un objeto en equilibrio estático):

$$\sum_i \tilde P_{i,\rm before} - \sum_j \tilde P_{j,\rm after}=\tilde 0.$$

Entonces, como dice @stackoverblown, las transformaciones de Lorentz son transformaciones lineales (al igual que las rotaciones euclidianas y las transformaciones de Galileo). Entonces, este polígono se transforma en otro polígono (según lo determinado por la Transformación de Lorentz).

La conservación del impulso se mezcla con la conservación de la energía cuando vas a la velocidad relativista.

$$E^{'} = \gamma (E - v p)$$ $$p^{'} = \gamma (p - \frac{v E}{c^2})$$ Ahora si tienes conservación$E_1+E_2 = E_3+E_4$y$p_1 + p_2 = p_3 + p_4$entonces debido a que la transformación de Lorentz es lineal, simplemente se transformarán en$E^{'}_1 + E^{'}_2 = E^{'}_3 + E^{'}_4$y$p^{'}_1 + p^{'}_2 = p^{'}_3 + p^{'}_4$en el nuevo marco.

El impulso solo se conserva si no hay una fuerza externa en su sistema. Dado que la fuerza es la derivada temporal del momento, el momento se conserva si la fuerza externa sobre una partícula es cero. Déjame hacer esto más matemático:$0 = \vec f = d\vec p / dt$. Esto es válido para el caso no relativista y relativista.

Por supuesto, uno puede escribir un lagrangiano y luego aplicar el teorema de Noether, ya que esto es más matemática. Pero básicamente la respuesta es tan simple como yo la pongo.