Bombas de calor: ¿puede COP≤1COP≤1COP\leq 1 y cuándo COP=1ηCOP=1ηCOP=\frac{1}{\eta}?

El COP de la bomba de calor se define como

$$\xi=\frac{|Q_{HOT}|}{|W|}$$

Dónde$Q_{HOT}$es el calor entregado a la fuente caliente. tengo dos dudas unidas al respecto

1. ¿Bajo qué condiciones puedo decir que$\xi=\frac{1}{\eta}$dónde$\eta$Cuál es la eficiencia del sistema si funciona como motor térmico (en lugar de bomba de calor)?
2. Poder$\xi\leq1$?

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$1)$Tenemos

$$\eta=\frac{W}{Q_{HOT}}\implies \xi=\frac{1}{\eta}$$

Pero, ¿es siempre posible hablar de una máquina térmica hipotética que funciona entre las mismas fuentes e intercambia los mismos calores y trabajo?

Mi conjetura sería que las condiciones son que el motor térmico debe ser reversible. Así que en ese caso,$(2)$sería válido si el motor es reversible. ¿Es eso correcto o la condición es diferente?

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$2)$Mirando el punto$1$parece imposible que$\xi=1$porque eso significaría$\eta =1$. Más en general debería ser$\xi \geq 1$(desde$\eta \leq 1$).

Pero considere la bomba de calor en el diagrama. Enumeré las transformaciones a continuación.

$$A \rightarrow B= \mathrm{reversible \, isothermic \, compression \, from \, V_A \, to \, V_B}$$ $$B \rightarrow C= \mathrm{adiabatic \, expansion \, from \, V_B \, to \, V_C}$$ $$C \rightarrow A= \mathrm{ (irreversible) \,adiabatic \, compression \, from \, V_C \, to \, V_A}$$

(La curva azul es un proceso irreversible y, por lo tanto, no debe representarse como lo hice yo)

Tenemos$Q_{cycle}=Q_{A->B}<0$entonces$W_{cycle}=Q_{A->B}<0$entonces en este caso$\xi=1$. Y esta bomba de calor me parece posible porque tenemos$\Delta S_{universe}=-\Delta S_{A->B,system}>0$.

Al final, este es solo un sistema que toma trabajo y lo transforma completamente en calor, lo cual (hasta donde yo entendí) está permitido por las leyes de la termodinámica.

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Agradecería mucho cualquier sugerencia sobre estos dos puntos sobre las bombas de calor que no me quedan claros.

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Solo para aclarar, la convención de signos que uso es la de la imagen.