Ayuda a comprender el teorema de la divergencia en relación con la Ley de Gauss

Está malinterpretando la definición de las palabras "fuente" y "sumidero". Una "fuente" o "sumidero" de un campo vectorial${\bf F}({\bf x})$es un punto${\bf x}$dónde${\bf \nabla} \cdot {\bf F} > 0$o${\bf \nabla} \cdot {\bf F} < 0$respectivamente, por lo que en su ejemplo cada punto es una fuente. El campo vectorial no tiene que ser radial o divergente en una fuente o sumidero.

En electrostática, las partículas puntuales producen campos eléctricos radiales y divergentes en su ubicación, pero las distribuciones continuas de carga eléctrica producen campos eléctricos uniformes y no necesariamente radiales con divergencia distinta de cero.

Veo que mi comentario es simplemente reafirmar lo que ya se ha dicho. Lo resolveré explícitamente.

Considere una carga puntual en el origen. El campo desde esa carga puntual es igual a$\vec E = \hat r / r^2$. en un punto$x=0,y=0,z=R$, el campo eléctrico es igual a$\vec E = \hat z / R^2$.

Ahora considere un pequeño cubo de longitud lateral$a$, centrado en$z=R$. Si queremos integrar sobre ese volumen, debemos considerar cómo cambia el campo vectorial sobre el volumen. Hagamos$a$muy muy pequeño (en comparación con$R$), por lo que solo necesitamos mantener los términos de orden más bajo.

El cambio de primer orden a medida que nos desplazamos en la dirección z se debe al cambio en la magnitud del vector:

$$\vec E = \frac{\hat z}{R^2} - \frac{2\hat z}{R^3}(z-R)$$

Si cambio en el$x$o$y$direcciones, no hay un cambio de primer orden en la magnitud del campo vectorial, pero el campo gana una componente de primer orden en la dirección correspondiente. Cambiando en$x$da

$$\vec E = \frac{\hat z}{R^2} + \frac{x\hat x}{R^3}$$

mientras cambia de puesto$y$da

$$\vec E = \frac{\hat z}{R^2} + \frac{y \hat y}{R^3}$$

Entonces, al orden más bajo sobre el punto$\vec r = (0,0,R)$,

$$\vec E = \frac{\hat z}{R^2} + \frac{x \hat x}{R^3} + \frac{y \hat y}{R^3} - \frac{2(z-R)\hat z}{R^3}$$

Es bastante obvio que la divergencia de$E$sigue siendo cero en nuestra expansión (por lo que la integral de volumen es cero), pero ¿qué pasa con nuestra integral de superficie?

Integrando sobre la superficie inferior ($\hat n = -\hat z, z= R-\frac{a}{2}$) Nos da

$$\int_{-a/2}^{a/2} \int_{-a/2}^{a/2} -\left[\frac{1}{R^2} - \frac{2(-a/2)}{R^3} \right]dx dy = -\frac{a^2}{R^2} - \frac{a^3}{R^3}$$

mientras que la integración sobre la superficie superior ($\hat n = \hat z, z=R+\frac{a}{2}$) da

$$\int_{-a/2}^{a/2} \int_{-a/2}^{a/2}\left[ \frac{1}{R^2} - \frac{2(a/2)}{R^3}\right] dx dy = \frac{a^2}{R^2} - \frac{a^3}{R^3}$$

Usted afirma que las líneas de campo son aproximadamente paralelas, por lo que podemos detenernos aquí porque el flujo a través de las paredes es cero. La divergencia de nuestro campo desaparece, pero la integral del campo sobre las superficies superior e inferior no suma cero, y encontramos que el teorema de Gauss es incorrecto.

Pero esto es incorrecto: ¡hay una contribución de primer orden al flujo a través de los lados! Todo el flujo sale por los lados del cubo (y, por lo tanto, es positivo), por lo que debemos sumar cuatro contribuciones. Necesitamos dos de estos ($\hat n = \pm \hat x, x = \pm \frac{a}{2}$):

$$\int_{-a/2}^{a/2} \int_{-a/2}^{a/2} \frac{(a/2)}{R^3} dz dy = \frac{a^3}{2R^3}$$

y dos de estos ($\hat n = \pm \hat y, y = \pm \frac{a}{2}$):

$$\int_{-a/2}^{a/2} \int_{-a/2}^{a/2} \frac{(a/2)}{R^3} dz dx = \frac{a^3}{2R^3}$$

Por lo tanto, encontramos que el flujo adicional a través de las paredes anula exactamente la variación del flujo entre las superficies superior e inferior, y se conserva el teorema de Gauss.

Tl; dr: tenga cuidado con sus aproximaciones. Debe ser coherente: si está trabajando en el orden más bajo, debe mantener todos los términos en ese orden. En este ejemplo, la variación radial en la magnitud del campo es del mismo orden que la desviación direccional de las líneas de campo. Al mantener el primero y descartar el segundo, está siendo inconsistente en sus aproximaciones, lo que lo lleva a una conclusión incorrecta.

Para demostrar matemáticamente el teorema

$$\displaystyle\oint_{\partial S=V} \vec{F}\cdot \vec{dS} = \displaystyle\int_V(\nabla\cdot\vec{F}) dV$$ no hay absolutamente ninguna necesidad (ni sentido) de invocar nada como fuentes o sumideros en absoluto. Para obtener una buena e intuitiva derivación matemática, consulte este capítulo de Feynman Lectures.

La relación de todo esto con las fuentes y sumideros proviene principalmente de la Física que explicaré más adelante. Pero incluso desde una perspectiva matemática, uno puede definir con certeza$\nabla\cdot\vec{F}$como la fuente del campo$\vec{F}$porque como implica el teorema anterior siempre que hay algún flujo del campo que sale de una región cerrada, es decir, una especie de génesis general del campo dentro de esa región, la integral de volumen de$\nabla\cdot\vec{F}$es exactamente igual a este flujo. Con esta motivación, se puede definir con toda certeza$\nabla\cdot\vec{F}$como la fuente (o sumidero) del campo - matemáticamente. Y mientras las cosas sean definiciones matemáticas, no hay mucho que discutir. Si hay una divergencia del campo que no desaparece, entonces, por definición, estoy diciendo que la fuente (o sumidero) está presente allí.

Ahora bien, lo que hace la ley de la electrostática de Gauss es que identifica esta fuente definida matemáticamente, es decir, la divergencia del campo, con la densidad de carga eléctrica (hasta una constante que despreciaremos). Y en este caso, vale la pena (significativo) preguntarse si realmente se necesita una densidad de carga para que la divergencia del campo eléctrico sea distinta de cero y viceversa. Y la respuesta es sí. La ley de Coulomb es un hecho experimental que (debido a su espectacular$\dfrac{1}{r^2}$dependencia) cuando se combina con algún cálculo vectorial simple implica claramente que$\nabla\cdot\vec{F}=\rho$. Dónde$\rho$es la densidad de carga. Si la dependencia de la distancia del campo hubiera sido diferente, significaría que tiene fuentes o sumideros de los campos (los lugares donde hay una divergencia distinta de cero), pero la densidad de carga no necesita estar allí.

En el ejemplo particular que investigas, el campo$\vec{E}=\vec{x}$no puede ser creado por una carga puntual ubicada muy lejos, como lo ilustra maravillosamente J. Murray en su respuesta. Necesitará una densidad de carga distribuida en la región que está considerando para generar un campo de ese tipo.

La explicación de un tramposo Dado que sabemos que las líneas de campo eléctrico nunca terminan ni se originan (prácticamente lo mismo) en el aire, cada línea de campo que ingresa a una región vacía cerrada debe salir de ella, lo que hace imposible que un espacio vacío cerrado tienen una integral de superficie distinta de cero. Pero si hay una carga dentro de la región, entonces las líneas de campo terminan o se originan allí, creando una integral de superficie distinta de cero sobre la superficie que encierra la carga. (Esta es una explicación tramposa porque la razón por la que sabemos que las líneas de campo no se originan o terminan en el aire es precisamente la ley electrostática de Gauss. Aquí, usamos este hecho derivado para explicar su origen. ¡Pero funciona para los niños en estos días!)

Intentaré dar una respuesta más intuitiva, ya que hay respuestas matemáticamente correctas. Diremos que un campo vectorial$X$tiene un fregadero en alguna región$\Sigma \subset \mathbb R^n$, si en alguna dirección, obtiene menos "cosas" entonces pone. Piense en la analogía de una tubería, que tiene una grieta, de modo que el agua se filtra por la grieta y, por lo tanto, recibe menos agua en el otro lado. de lo que pusiste.

Diremos que un campo vectorial tiene una fuente en la región$\Sigma$, si obtiene más "cosas" de las que pone en alguna dirección. Usando la analogía anterior, piense en una tubería, donde alguien está poniendo a escondidas más agua en alguna parte de la tubería y, como resultado, obtiene más agua de la que pone.

Pensemos en tu ejemplo:$\mathbf k = x \,\hat x$, y elijamos$\Sigma = [0,1]^3$. claramente en$x=1$tienes más cosas de las que tienes en$x=0$, por lo que alguien debe estar bombeando cosas, entonces debe haber una fuente en esta región y, de hecho, alguien está bombeando cosas en cada punto$x$, aunque muy poco, para que obtengas más cosas en el punto$x + \epsilon$.

Espero que esto te ayude a comprender intuitivamente la ley de Gaus.