Aproximación Relativista Especial a GR

El modelado utilizado en el GPS se basa en la métrica de campo débil estático

La idea de aproximar la gravedad como aceleración encontrada por impulsos infinitesimales de Lorentz en un fondo plano no es del todo loca en sí misma. Un ejemplo bastante canónico es el de un observador que experimenta una aceleración propia constante en la dirección z en el espacio-tiempo de Minkowski:

Pero al menos ese caso particular es un poco más literal sobre la "aproximación relativista especial a GTR" que una perturbación de la métrica de Minkowski. ¿Hasta dónde podemos llegar asumiendo que el campo gravitacional es un campo en el fondo de Minkowski? Algún campo tensorial simétrico de rango 2$h_{\mu\nu}$es un buen candidato para el trabajo, ya que tiene la misma cantidad de grados locales que la métrica en GTR, aunque también podemos hacer un escalar, un vector o lo que sea. Resulta que los campos escalares y vectoriales no predicen en absoluto la desviación gravitacional de la luz, y mientras$h_{\mu\nu}$obtiene la respuesta correcta, hace que la precesión de Mercurio sea demasiado alta en un tercio. El campo simétrico de rango 2 también resulta ser formalmente idéntico al método perturbativo habitual de GTR linealizado que asume$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$, así que en ese caso no es nada particularmente diferente.

En general, este enfoque de un campo sobre un fondo de Minkowski está destinado a fallar eventualmente, no solo por las trampas de las aproximaciones, sino por una incompatibilidad más fundamental. Supongamos que A y B están a diferentes elevaciones en un campo gravitatorio estático no uniforme, y A envía un pulso de luz monocromática a B, de un número determinado de oscilaciones (o fotones), que toma una cierta cantidad del tiempo propio t de A para enviar y el momento adecuado t' de B para recibir. Debido al corrimiento al rojo gravitacional, las frecuencias deben ser diferentes, pero el número de oscilaciones debe permanecer igual: ft = f't', entonces$t\not=t'$. Por lo tanto, el corrimiento al rojo gravitacional es incompatible con la relatividad especial.

(Si esto no está claro, imagine seguir con un pulso idéntico inmediatamente después, de modo que las trayectorias de la señal sean idénticas, formando un "paralelogramo"$A_{\text{send1}}B_{\text{receive1}}B_{\text{receive2}}A_{\text{send2}}$. Si el espacio-tiempo es plano,$t = A_{\text{send1}}A_{\text{send2}}$debe ser igual a$t' = B_{\text{receive1}}B_{\text{receive2}}$, independientemente de si las trayectorias de la señal son rectas, siempre que sean congruentes. Pero el corrimiento al rojo gravitatorio los obliga a ser diferentes. Este argumento fue hecho originalmente por A. Schild.)

primero, no sé exactamente a qué te refieres con "secuencia de incrementos infinitesimales de Lorentz". Un impulso del espacio plano de Minkowski le devuelve un espacio de Minkowski, por lo que no puede obtener un espacio curvo mediante ninguna secuencia de impulsos que actúen globalmente en el espacio-tiempo.

Además, el adjetivo "infinitesimal" podría ser bastante intrascendente. Las transformaciones en física a menudo se representan como el producto de infinitas transformaciones infinitesimales.

Por otro lado, la afirmación de que el mundo, el Sistema Solar, puede aproximarse mediante la relatividad especial es obviamente cierta. La curvatura del espacio-tiempo es pequeña y puede tratarse perturbativamente.

En prácticamente cualquier sistema de referencia que elija, e incluso puede elegir el sistema geocéntrico, todos los efectos gravitacionales, incluidos los efectos relativistas generales, pueden incorporarse como pequeñas correcciones.

En particular, siempre puede definir algunas coordenadas operativas en las que el espacio-tiempo es casi plano, por lo que la métrica viene dada por la métrica plana de Minkowski. La métrica real dictada por la relatividad general, cualquiera que sea, puede expresarse como una pequeña corrección de la métrica de Minkowski.

En principio, dicha corrección puede calcularse con precisión arbitraria, no solo el nivel principal, mediante expansiones perturbativas. Este enfoque de la relatividad general generalmente se conoce como gravedad linealizada, incluso si uno va más allá del nivel linealizado, y no solo es esencial para los cálculos reales de los fenómenos observables, sino también para una comprensión conceptual adecuada de la relatividad general (y la gravedad cuántica). la linealización es necesaria para entender que hay gravitones, y cuáles son sus polarizaciones de masa, espín y física).

El propio Einstein calculó los efectos de una masa puntual, por ejemplo, el Sol, sobre otros cuerpos, como Mercurio, en el esquema perturbativo. Fue antes de que Schwarzschild diera una solución exacta para las ecuaciones de Einstein en el caso de simetría esférica (cuando se extrapola por todas partes en el espacio, ahora se lo conoce como el agujero negro de Schwarzschild).

Los efectos que el GPS tiene que tener en cuenta incluyen, por supuesto, las fuerzas estándar de la mecánica clásica como la fuerza centrípeta o la fuerza de Coriolis, así como algunos efectos relativistas especiales y relativistas generales. Pero, por supuesto, cuando las cosas se calculan en la práctica, la gente asume de facto que todo el mundo tiene lugar en un fondo de Minkowski y que todos los efectos gravitatorios son pequeñas correcciones que ocurren en la arena de Minkowski.

Incluso si Einstein no hubiera descubierto GR por métodos de físicos ingeniosos, los ingenieros que trabajan para GPS encontrarían más tarde las correcciones correctas en el proceso de ajustar su sistema y eliminar las discrepancias. Pudieron medir experimentalmente la dependencia del día, la latitud y la longitud de cualquier efecto importante y que hizo que su anterior software GPS plus fuera inexacto. No apreciarían la belleza de GR de inmediato, pero, por supuesto, podrían adivinar la forma correcta de los términos de corrección de las desviaciones experimentales.

Una vez más, para responder a su última pregunta, el enfoque perturbativo de GR, que se expande en torno a un trasfondo de SR, no tiene por qué fallar en ninguna parte. Puede ser exacto como$\exp(x)$puede expresarse exactamente por la expansión de Taylor,$1+x+x^2/2+x^3/3!+\dots$. Por supuesto, el enfoque perturbativo se vuelve incómodo, por decir lo menos, para configuraciones causalmente no triviales como los agujeros negros, incluido el interior; agujeros de gusano y otras formas del espacio topológicamente no triviales; o algunas cuestiones muy globales en cosmología. Pero cuando el espacio-tiempo es topológicamente trivial, las expansiones perturbativas funcionan. Cuanto más plano es el espacio, más útiles se vuelven las expansiones perturbativas.

Mis mejores deseos Lubos

La relatividad especial es una buena aproximación local a la relatividad general. La relatividad especial o cualquier sucesión de transformaciones de Lorentz no revelarán nada sobre los aspectos globales de los sistemas gravitatorios.

Se llama gravitoelectromagnetismo y es una forma de traducir las ecuaciones de Maxwell a la relatividad. Más precisamente, dice que las ecuaciones análogas de Maxwell se mantienen en relatividad si colocas Gravityfield en lugar de campo eléctrico y un campo gravitomagnético "ficticio" en lugar de (también ficticio) campo magnético.

Hay dos formas de derivar las ecuaciones gravitacionales de Maxwell.

1. Linealizar las ecuaciones de campo GR. Compruebe Mashhoon; Gravitoelectromagnetismo, una breve revisión
2. Así como puede obtener las ecuaciones completas de Maxwell a partir de la mera ley de Coulomb con la ayuda de la relatividad especial (referencia: Antoine Royer, ¿Por qué la fuerza magnética es similar a la fuerza de Coriolis?), puede comenzar con la ley gravitatoria de Newton (con una velocidad finita de interacción ) y derivar el análogo gravitatorio de las ecuaciones de Maxwell. Bueno, al menos hasta algunas constantes.

Pero el hecho divertido es que puede obtener casi todo el GR linealizado de SR por estos medios. Sin embargo, una constante puede estar mal, según escuché, ya que "el gravitón es una partícula de espín dos".

Por último, aunque GEM está linealizado, GR se está utilizando para explicar y calcular los chorros relativistas de los agujeros negros. Entonces, extremadamente útil de hecho.