Aplicando la desigualdad de Clausius a tres sistemas

Question

Aplicando la desigualdad de Clausius a tres sistemas

Si Chen

Supongamos que tenemos tres sistemas formados por la misma cantidad de la misma sustancia, $S_1, S_2$ y $S_3$ . Empiezan con las temperaturas $T_1$ , $T_2$ , $T_3$ tal que $T_1>T_2>T_3$ .

Podemos colocar los sistemas uno al lado del otro a lo largo de una línea: $S_1 | S_2 |S_3$ , dónde $|$ indica que los sistemas a ambos lados están en contacto.

Supongamos que esta línea de sistemas, tomada en su conjunto, puede tratarse como aislada. Sin embargo, dentro de la línea misma, el calor y el trabajo pueden intercambiarse entre dos sistemas cualesquiera en contacto. Por lo tanto, los tres sistemas comienzan a entrar en equilibrio termodinámico entre sí.

Al comienzo mismo del proceso, $S_1$ pierde calor $\delta Q_{12}$ a $S_2$ , y $S_2$ pierde calor $\delta Q_{23}$ a $S_3$ . Las entropías de los sistemas cambian por $dS_1$ , $dS_2$ y $dS_3$ respectivamente.

me gustaria mostrar eso $dS_1 + dS_2 + dS_3 > 0$ , utilizando la desigualdad de Clausius. En otras palabras, me gustaría mostrar que la Segunda Ley de la Termodinámica tiene como consecuencia que la entropía para toda la línea de sistemas aumenta a medida que la línea alcanza el equilibrio termodinámico interno.

La desigualdad de Clausius da automáticamente $d S_1 \geq \frac{-\delta Q_{12}}{T_2}$ y $d S_3 \geq \frac{\delta Q_{23}}{T_2}$ , porque $S_1$ y $S_3$ ambos solo están en contacto con $S_2$ , que está a temperatura $T_2$ .

Pero, ¿puedo usar la desigualdad de Clausius para completar mi argumento y decir: $d S_2 \geq \frac{\delta Q_{12}}{T_1} + \frac{-\delta Q_{23}}{T_3}$ ? ¿Se puede/cómo se puede aplicar la desigualdad de Clausius cuando un sistema está en contacto con dos depósitos de diferentes temperaturas?

Respuestas (2)

Aplicando la desigualdad de Clausius a tres sistemas

Bob D. · Answer 1

No sé si esto lo ayuda a "completar su argumento", considere lo siguiente que involucra solo la transferencia de calor entre las sustancias:

Para un sistema aislado, la energía del sistema debe conservarse, por lo que el calor que sale $S_1$ es igual al calor que entra $S_3$ . Como consecuencia

$Q_{12}$ = $Q_{23}$ = Q

Asumir $S_1$ , $S_2$ , y $S_3$ son depósitos térmicos, por lo que las transferencias de calor se producen de forma isotérmica.
Los cambios en la entropía para cada reservorio son

Δ S_{1} = - \frac{q}{T_{1}}

$\Delta S_{1}=-\frac{Q}{T_1}$

Δ S_{2} = + \frac{q}{T_{2}} - \frac{q}{T_{2}}

$\Delta S_{2}=+\frac{Q}{T_2}-\frac{Q}{T_2}$

Δ S_{3} = + \frac{q}{T_{3}}

$\Delta S_{3}=+\frac{Q}{T_3}$

El cambio de entropía total del sistema aislado es

Δ S_{T o t a yo} = Δ S_{1} + Δ S_{2} + Δ S_{3}

$\Delta S_{Total}=\Delta S_{1}+\Delta S_{2}+\Delta S_{3}$

Δ S_{T o t a yo} = - \frac{q}{T_{1}} + \frac{q}{T_{2}} - \frac{q}{T_{2}} + \frac{q}{T_{3}}

$\Delta S_{Total}=-\frac{Q}{T_1}+\frac{Q}{T_2}-\frac{Q}{T_2}+\frac{Q}{T_3}$

Δ S_{T o t a yo} = \frac{q}{T_{3}} - \frac{q}{T_{1}}

$\Delta S_{Total}=\frac{Q}{T_{3}}-\frac{Q}{T_{1}}$

Para todos $T_{1}>T_3$ , $\Delta S_{Total}>0$

Si $T_{1}\to T_3$ (transferencia de calor reversible) $\Delta S_{Total}= 0$

Por lo tanto $\Delta S_{Total}≥0$

Espero que esto ayude.

Chet Miller · Answer 2

Aplicó incorrectamente la desigualdad de Clausius a este problema. Las temperaturas que se deben usar en los denominadores son los valores en las interfaces entre 1 y 2 y entre 2 y 3 (ver Moran et al, Fundamentals of Engineering Thermodynamics). Entonces, la aplicación correcta de la desigualdad de Clausius debería verse así:

Δ S_{1} \geq \int \frac{d q_{21}}{T_{12}}

$\Delta S_1\geq\int{\frac{dQ_{21}}{T_{12}}}$

Δ S_{2} \geq \int \frac{d q_{12}}{T_{12}} + \int \frac{d q_{32}}{T_{23}}

$\Delta S_2\geq\int{\frac{dQ_{12}}{T_{12}}}+\int{\frac{dQ_{32}}{T_{23}}}$

Δ S_{3} \geq \int \frac{d q_{23}}{T_{23}}

$\Delta S_3\geq\int{\frac{dQ_{23}}{T_{23}}}$ dónde

T_{12}

$T_{12}$ es la temperatura en la interfaz entre los sistemas 1 y 2, y

T_{23}

$T_{23}$ es la temperatura en la interfaz entre los sistemas 2 y 3, con

d q_{12} = - d q_{21}

$dQ_{12}=-dQ_{21}$ y

d q_{23} = - d q_{32}

$dQ_{23}=-dQ_{32}$ Entonces, cuando sumas estos, obtienes (como se esperaba)

Δ S_{1} + Δ S_{2} + Δ S_{3} \geq 0

$\Delta S_1+\Delta S_2+\Delta S_3\geq 0$

Hola Chet. Si las tres sustancias son reservorios térmicos, ¿cuáles serán las temperaturas en las interfaces? ¿El significado?
@BobD Esta es una instancia en la que el mundo de los reservorios ideales está en conflicto con el mundo real. Para reservorios reales que se aproximan al comportamiento ideal, hay gradientes de temperatura cerca de los límites (donde se genera entropía) y la temperatura es continua en el límite, mostrando un valor límite a mitad de camino entre las temperaturas promedio generales de los reservorios. En el caso de un reservorio ideal en contacto con, digamos, un gas ideal, se supone que toda la variación de temperatura y la generación de entropía tienen lugar dentro del gas, y la temperatura en el límite es la de
el depósito es el mismo que el grueso. No se permiten gradientes de temperatura cerca del límite ideal del reservorio en este caso. Se supone que el yacimiento tiene una conductividad térmica infinita en comparación con el gas.
Chet, gracias por la explicación. ¿Sería correcta mi respuesta si estableciera en el segundo supuesto que las sustancias son reservorios térmicos "ideales"?
@BobD En realidad, no estoy de acuerdo con varias cosas en su respuesta, comenzando con la primera suposición. Para los balances de energía en los tres embalses, tengo $Δ {tu}_{1} = q_{21}$ $\Delta U_1=Q_{21}$ $Δ {tu}_{2} = q_{12} + q_{32}$ $\Delta U_2=Q_{12}+Q_{32}$ $Δ {tu}_{3} = q_{23}$ $\Delta U_3=Q_{23}$ con $Q_{21}=-Q_{12}$ y $Q_{32}=-Q_{23}$ Si sumamos los tres cambios en la energía interna, obtenemos (como se esperaba) $Δ {tu}_{1} + Δ {tu}_{2} + Δ {tu}_{3} = 0$ $\Delta U_1+\Delta U_2+\Delta U_3=0$ Pero nada de esto implica que $Q_{12}=Q_{23}$ . Eso significaría que $\Delta U_2=0$ , que ciertamente no es una condición necesaria.

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Si Chen

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