Marcos arbitrarios en relatividad especial

Considere esta cita de James J. Callahan en su libro The Geometry of Spacetime donde resume las conclusiones de su capítulo sobre marcos arbitrarios en SR (página 165):

Una vez más encontramos que la cuadrícula de radar y la cuadrícula de reglas y relojes no están de acuerdo. Tenemos más evidencia de que en el marco no inercial de un observador acelerado G, ninguna coordenada da simultáneamente medidas de una sola regla y reloj, como lo hacen naturalmente en un marco inercial. Un mapa de la tierra sufre el mismo defecto: las medidas en el mapa no pueden hacerse todas proporcionales a las medidas en la superficie de la tierra. No se puede hacer un mapa preciso de (una parte sustancial de) la tierra con una sola escala. En la tierra, atribuimos este defecto a la curvatura, más precisamente, al hecho de que la tierra es curva pero el mapa no lo es. Por analogía, consideramos que lo mismo puede ser cierto para el espacio-tiempo: Dado que las medidas dentro de los marcos acelerados que hemos considerado no son proporcionales a las medidas de los intervalos de espacio-tiempo correspondientes, tal vez el propio espacio-tiempo sea curvo. Nuestras especulaciones se pueden resumir de esta manera:movimientos acelerados ==> marcos no inerciales ==> espacio-tiempo curvo

Lo que encuentro muy confuso en esa cita, y en realidad en todo ese capítulo, es que Callahan aparentemente dice que, en virtud de estar en un marco no inercial (mientras aún está en un espacio de Minkowski), el espacio-tiempo se curva automáticamente. . Ya tomé un curso en GR y sé que no puede ser correcto porque el espacio de Minkowski tiene una métrica plana. Por otro lado, el argumento de Callahan parece razonable. Básicamente está diciendo que, por ejemplo, en un marco giratorio no puedes medir el tiempo y el espacio de manera uniforme como lo haces en un marco inercial (ya que v es una función de r y, por lo tanto, la dilatación del tiempo será una función de r, es decir, puedes ' Sincroniza los relojes en tu marco sin importar cuánto lo intentes; un efecto similar a cómo no puedes medir distancias uniformemente en una esfera). Surge una pregunta similar en el caso de un disco giratorio, donde el observador giratorio aparentemente experimenta una geometría no euclidiana. ¿Pero como puede ser eso? Todavía estamos en el espacio de Minkowski, el tensor de curvatura de Riemann debe desaparecer, entonces, ¿por qué está presente la geometría no euclidiana?

Mi pregunta se puede resumir de la siguiente manera: Callahan, por lo que puedo decir, argumenta que los marcos no inerciales implican una curvatura del espacio-tiempo, incluso en el espacio de Minkowski, lo que contradice completamente lo que he aprendido antes. Más específicamente, necesito una aclaración sobre la parte de la cita de Callahan que resalté en negrita.

Encuentro muy confuso ese párrafo en el libro. Ya es falso para la geometría espacial. En el espacio Euclidiano 3D puede usar sistemas de coordenadas tridimensionales no cartesianos donde las relaciones entre coordenadas y reglas son exactamente las resumidas en el párrafo pero no implica que el espacio sea curvo porque es plano por hipótesis.
El punto es que si el espacio es una curva, no hay sistemas de coordenadas donde las reglas y las coordenadas "coincidan". La declaración inversa es en cambio falsa.
Entonces, lo que el libro debería decir es que si no hay sistemas de coordenadas en los que las reglas y los relojes coincidan globalmente con las coordenadas, entonces la geometría es curva . Sin embargo, esta es una declaración muy delicada porque localmente, usando coordenadas geodésicas, uno puede encontrar coordenadas donde en un sentido matemático preciso coinciden las coordenadas locales y las reglas.
Claro, entiendo todo eso. Básicamente, esto implica encontrar una transformación de coordenadas que haga que la métrica sea plana (globalmente) y, por lo tanto, que el espacio sea plano como resultado. Sin embargo, eso no es lo que Callahan estaba diciendo en absoluto, sino que argumentó lo contrario: dado que estamos en un marco donde la métrica no es plana, entonces el espacio no es plano (aunque sabemos por GR que esta no es una razón viable para decir que el espacio-tiempo es curvo y debería existir una transformación de coordenadas que haga que la métrica sea globalmente plana en el espacio de minkowski).
También para aclarar las cosas: este no fue solo un párrafo, el autor dedicó un capítulo completo a esta misma idea, lo que lo hace más confuso.
Parece que el libro está siendo bastante descuidado. Los marcos acelerados motivan los coeficientes de conexión, pero no la curvatura, excepto quizás indirectamente.
Veo que este libro está dirigido a matemáticos universitarios. Así como los libros de física son descuidados con las matemáticas, libros como estos son descuidados con la física. Es solo el caso habitual, donde el "rigor" adicional distrae a las personas de la claridad decreciente de la física real.

Respuestas (2)

Lo que encuentro muy confuso en esa cita... es que Callahan aparentemente dice que, en virtud de estar en un marco no inercial (mientras aún se encuentra en un espacio de Minkowski), el espacio-tiempo se curva automáticamente.

Eso no es lo que está diciendo. Después de considerar el "desacuerdo" entre la "rejilla de radar" y la "rejilla de regla-reloj" y darse cuenta de que existe un desacuerdo similar entre la superficie de la Tierra y sus mapas (y darse cuenta de que este desacuerdo es inevitable debido a la curvatura de la Tierra), hace la hipótesis de que tal desacuerdo también sería inherente para el espacio-tiempo (que en este momento ya no se supone que sea un espacio-tiempo de Minkowski).

Note su lenguaje:

Por analogía... puede ser cierto... tal vez... especulaciones...

Es obvio que no hay nada automático en la curvatura del espacio-tiempo.

Callahan, por lo que puedo decir, argumenta que los marcos no inerciales implican una curvatura del espacio-tiempo, incluso en el espacio de Minkowski.

Nuevamente, ese es un resumen incorrecto y Callahan no dice nada por el estilo. Argumenta que la consideración de marcos no inerciales junto con ejemplos de superficies curvas sugiere (no implica, aquí hacemos una hipótesis) que el espacio-tiempo puede no ser el espacio de Minkowski sino un espacio-tiempo curvo más general (y el nombre Minkowski ni siquiera está presente en la cita).

He releído la cita muchas veces y simplemente no puedo ver cómo llegaste a esa conclusión. Él declara explícitamente la razón de la curvatura: "Dado que las medidas dentro de los marcos acelerados que hemos considerado no son proporcionales a las medidas de los intervalos de espacio-tiempo correspondientes, tal vez el propio espacio-tiempo sea curvo". Lo cual está en analogía directa con lo que sucede en la esfera según él.
Además, no veo cómo el espacio es otra cosa que Minkowski. Todo el capítulo es solo SR en marcos arbitrarios, las "superficies curvas" de las que habla son solo analogías que usó para vincular la curvatura del espacio-tiempo con la curvatura espacial en una esfera/Tierra. Si bien la razón inherente de la curvatura en sí misma son aparentemente las medidas no uniformes de las que habla. La parte resaltada en negrita tampoco respalda sus conclusiones, sino que señala su intención de que los marcos no inerciales conduzcan directamente a la curvatura del espacio-tiempo (luego vincula la gravedad con la curvatura a través del principio de equivalencia más adelante).
@Leonid: Una vez más: lo que el autor llama especulaciones no se puede denominar como guía directa , aquí se hacen suposiciones adicionales (que antes estaban ausentes). Así es como funciona la construcción de teorías: haces nuevas suposiciones y sigues adelante. Y para ir con ella , puede reformular la vieja teoría ya conocida en un lenguaje que mejor se adapte a las nuevas suposiciones. Una vez que se hacen las suposiciones, los objetos de la vieja teoría a menudo se vuelven diferentes y adquieren nuevas propiedades. Entonces aquí, una vez que el autor hizo una nueva suposición de que el espacio-tiempo es curvo, dejó de ser el espacio-tiempo de Minkowski.

Creo que Callahan probablemente esté equivocado. El argumento más fuerte de que no lo es parece ser que una monografía sobre relatividad especial publicada por una editorial respetada no podría estar equivocada sobre algo tan básico. Pero tengo una opinión muy baja de la pedagogía de RS en general, así que no me dejo influir mucho por ese argumento.

No he leído el capítulo completo, pero leí su extracto y las dos primeras páginas no pagadas . Está claro que Callahan se suscribe a la opinión común de que para cada observador hay un marco de referencia particular que deben usar para describir el mundo. Quienes sostienen este punto de vista también parecen creer que hace que la relatividad especial sea más subjetiva que la física newtoniana, aunque todos los argumentos que hacen sobre las coordenadas rectilíneas de 3+1 dimensiones podrían tener exactamente la misma justificación sobre las coordenadas rectilíneas de 3 dimensiones. Supongo que esto se debe a que el cerebro humano tiene circuitos cableados para razonar sobre 3D pero no sobre 3+1D, de modo que las relaciones que parecen obvias y naturales en el primero pueden parecer misteriosas en el segundo.

Los seguidores de esta filosofía también parecen creer que se originó con Einstein, pero claramente ese no es el caso. En su artículo original y su popularización temprana, siempre usa cuidadosamente frases como "un observador que toma el tren en movimiento como su cuerpo de referencia". Se especifica el movimiento del tren, pero no el del observador. El observador es simplemente un científico que nota coincidencias de eventos, por ejemplo, que un objeto pasa frente a un reloj fijado al tren en el mismo momento en que ambas manecillas de ese reloj señalan el número 12. Ninguna de las distorsiones de la visión que dependen de el movimiento del observador (aberración, cambio Doppler) afecta su capacidad en principio para notar esas coincidencias. Esto parece haber sido pasado por alto por todos y cada uno de los primeros intérpretes de Einstein. hoy es Es la norma combinar "observador" y "marco de referencia". Si los trata constantemente como sinónimos, entonces es simplemente una jerga innecesariamente confusa, pero si trata a un observador como si estuviera ubicado en un lugar particular ysiendo también idéntico a un sistema de coordenadas que abarca todo el universo, entonces te vas a meter en problemas. Callahan lo hace en la sección 4.1.

Si cree que los sistemas de coordenadas son tan importantes como eso, que cada vez que dos personas caminan juntas en la calle, los eventos en la galaxia de Andrómeda se desincronizan por una semana "para ellos" en algún sentido físico profundo, entonces no sorprende que terminarías pensando que el movimiento acelerado en la relatividad especial tiene una conexión profunda con la relatividad general.

Surge una pregunta similar en el caso de un disco giratorio, donde el observador giratorio aparentemente experimenta una geometría no euclidiana. ¿Pero como puede ser eso? Todavía estamos en el espacio de Minkowski, el tensor de curvatura de Riemann debe desaparecer, entonces, ¿por qué está presente la geometría no euclidiana?

La circunferencia del disco giratorio simplemente no es igual a 1 metro por el número de reglas métricas que colocas alrededor. No existe un teorema de la relatividad especial que diga que puedes medir correctamente la circunferencia de esa manera. Está relacionado con el hecho de que si pones relojes entre las varas, es imposible que Einstein los sincronice, y si reemplazas las varas con una guía de ondas y comparas las velocidades de la luz en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario, serán diferentes. Creo que todos estos resultados son interesantes y merecen ser asignados como ejercicios en todos los libros de texto de RS. Pero si parecen paradójicos, solo significa que su imagen de la relatividad especial es incorrecta y probablemente no sea internamente consistente.

No digo que no deba sorprenderse por la desigualdad del movimiento inercial y acelerado. Solo digo que deberías estar exactamente tan sorprendido como lo estás por la inequivalencia de las líneas rectas y las curvas en la geometría euclidiana.

Marcos arbitrarios en relatividad especial
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v