Ángulo necesario para que el objeto A intercepte con el objeto B

Manera simple de resolver: Usa las distancias recorridas. Entonces B ya ha viajado 20 km a 15° al este del norte. Eso es$20 \times \sin(15°)$km al norte y$20 \times \cos(15°)$hacia el este

Ahora considere que A intercepta a B a la vez$t$. Las ecuaciones para las distancias recorridas por B son:

$Y_B = 20 \times \sin(15°) + 30 \times t \times \sin(40°)$en la dirección Y y
$X_B = 20 \times \cos(15°) + 30 \times t \times \cos(40°)$en la dirección X.

Para A, las distancias recorridas son:
$Y_A = 100 \times t \times \sin(\alpha)$en la dirección Y y
$X_A = 100 \times t \times \cos(\alpha)$en la dirección X.

Para que los dos intercepten,$X_A = X_B$y$Y_A = Y_B$

Ahora tiene 2 ecuaciones, 2 variables y mucha diversión resolviéndolas simultáneamente.

Existe una técnica basada en vectores que resuelve el problema, y ​​te permite saber si no hay solución, una solución o dos soluciones.

(Todos mis ángulos se miden en sentido antihorario desde el eje X positivo)

Suponga que el perseguidor viaja a 100 km/h en un ángulo$\beta$. Vamos a intentar dividir esta velocidad en dos componentes no perpendiculares

Uno coincide exactamente con la velocidad del objetivo. Entonces, en el problema anterior, suponga que una parte de la velocidad de A es$30\angle 50°$. No importaría si la velocidad total de A fuera menor que 30 .

Entonces, (en teoría) hemos cancelado por completo el intento de escape de B. Ahora bien, ¿cómo llega A a B? A debe viajar a cierta velocidad (digamos X) a lo largo de la dirección original de A a B. (Dado que hemos cancelado cualquiera de los movimientos de B) Entonces, en este problema, la otra parte de la velocidad de A es$X \angle 75°$

Entonces, finalmente, nos vemos reducidos a resolver:

$$30\angle 50°+X \angle 75°=100\angle\beta$$ Una forma es expandir cada vector en componentes X e Y y establecer dos ecuaciones. si eliminas $\beta$obtienes una cuadrática en X. Si hay valores reales positivos de X, puedes sustituirlos y resolverlos para $\beta$

DETALLES ADICIONALES:

Expandiendo la ecuación anterior para los componentes en la dirección X e Y:

$$30\cos(50)+X\cos(75)=100\cos(\beta)$$ $$30\sin(50)+X\sin(75)=100\sin(\beta)$$ Las únicas incógnitas son el tamaño de X (¡o si existe!) y el ángulo $\beta$Si eleva al cuadrado ambos lados de ambas ecuaciones y luego suma los dos LHS y los dos RHS, algunas manipulaciones trigonométricas eliminarán $\beta$y conducen a la cuadrática en X.