¿Análogo del teorema de Liouville en velocidades generalizadas?

Question

¿Análogo del teorema de Liouville en velocidades generalizadas?

volumen
Física
espacio de fase
sistemas-complejos
sistemas coordinados
formalismo hamiltoniano

Lo Scrondo

El Teorema de Liouville se refiere a la dinámica en el espacio de fase: ¿existe un análogo en el espacio de configuración y, si no, podría dar una motivación / prueba de por qué?

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¿Análogo del teorema de Liouville en velocidades generalizadas?

El volumen del espacio de fase no cambia bajo la transformación canónica
Función de partición en coordenadas esféricas
¿Por qué el espacio de fase de un péndulo simple está definido en un cilindro y no en T2T2\mathbb{T}^{2}?
¿Es una transformación canónica equivalente a una transformación que conserva el volumen y la orientación?
Constantes de integración en la teoría de Hamilton-Jacobi
¿La propiedad de los corchetes de Poisson como condición necesaria y suficiente para que la transformación sea canónica?
¿Cómo se justifica la relación entre las antiguas y las nuevas variables canónicas?
Transformación canónica de la ecuación de Hamilton
¿Por qué una transformación puntual en el espacio de configuración implica que P=∂q∂QpP=∂q∂QpP = \frac{\partial q}{\partial Q} p en el espacio de fase?
¿Por qué el teorema de Liouville es obvio?

Valter Moretti · Answer 1

Aquí hay un contraejemplo directo para completar la respuesta de Qmechanic. Llevar $L= q \dot{q}^2/2$ para $q>0$ . Como consecuencia

pag = q \dot{q}

$p = q\dot{q}$ y entonces

d pag = q d \dot{q} + \dot{q} d q .

$dp = q d\dot{q} + \dot{q} dq\:.$ Por lo tanto, el volumen canónico en términos de variables lagrangianas es

d pag \land d q = q d \dot{q} \land d q .

$dp\wedge dq = q d\dot{q} \wedge dq\:.$ Dado que el lado izquierdo se conserva mediante soluciones de la ecuación de movimiento y

q = q (t)

$q=q(t)$ no es constante en el tiempo a lo largo de estas soluciones, no es posible que

d \dot{q} \land d q

$d\dot{q} \wedge dq$ también es constante a lo largo del movimiento del sistema. Entonces, el volumen aparentemente natural construido a partir de variables lagrangianas no es constante en el tiempo en el movimiento del sistema, a diferencia del volumen canónico.

Millegrazie @Valter Moretti. De todos modos, en un libro que estoy leyendo, se afirma que el Teorema de Liouville no se cumple en el espacio de configuración , "a menos que el $q_i$ s son coordenadas cartesianas simples"... ¿podría ofrecer una idea al respecto?
Si las coordenadas son cartesianas, la transformada de Legendre es trivial y $p_k$ es proporcional a $\dot{q}^k$ mediante un coeficiente común independiente de $k$ . Entonces, la forma de volumen canónico se puede escribir de manera segura usando $d\dot{q}^k$ en lugar de $dp_k$ y un factor constante. Sin embargo, no estoy seguro de que este sea el único caso...
Creo que es suficiente que el determinante de la matriz jacobiana del mapa de Legendre tenga valor $a \neq 0$ constantemente...

qmecanico · Answer 2

A diferencia del espacio de fase de haz cotangente $T^{\ast}M$ , no existe un Teorema de Liouville generalmente válido (donde la evolución temporal es libre de divergencias) en el espacio de configuración base $M$ ni en su haz tangente $TM$ . Para empezar, la noción de divergencia necesita una noción de volumen, y tampoco $M$ ni $TM$ está equipado genéricamente con una forma de volumen canónica.

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