Analizando la colisión de un cuerpo elástico con una superficie rugosa

Question

Analizando la colisión de un cuerpo elástico con una superficie rugosa

satanás 29

Un cubo elástico que se desliza sin fricción por un piso horizontal choca contra una pared vertical con una de sus caras paralela a la pared. El coeficiente de rozamiento entre la pared y el cubo es $\mu$ . El ángulo entre la dirección de la velocidad $\mathbf{v}$ del cubo y la pared es $\alpha$ . ¿Cuál será este ángulo después de la colisión (vea la Figura para una vista de pájaro de la colisión)?

Descargo de responsabilidad : antes de que esto se etiquete como "como una tarea", me gustaría aclarar que no solo estoy buscando la respuesta. Me gustaría obtener aclaraciones sobre cómo interactúa exactamente este objeto con la superficie durante la colisión.

Enfoque : suponga que las componentes de la velocidad después de la colisión son $v_{x}$ y $v_{y}$ , en el $-x$ y $+y$ direcciones. Los impulsos friccionales y normales actúan a lo largo $-x$ y $-y$ direcciones. Teniendo esto en cuenta, podemos escribir las ecuaciones para los cambios de cantidad de movimiento:

metro (v_{X} + v pecado (α)) = \int_{t_{i}}^{t_{F}} norte d t

$m(v_{x}+v\sin(\alpha))=\int_{t_{i}}^{t_{f}}N\text{d}t$

metro (- v_{y} + v porque (α)) = \int_{t_{i}}^{t_{F}} m norte d t

$m(-v_{y}+v\cos(\alpha))=\int_{t_{i}}^{t_{f}}\mu N\text{d}t$

Podemos dividir las dos ecuaciones para obtener:

m = \frac{v porque (α) - v_{y}}{v_{X} + v pecado (α)}

$\mu=\frac{v\cos(\alpha)-v_{y}}{v_{x}+v\sin(\alpha)}$

Ahora, de aquí en adelante, puede tomar 2 enfoques:

La palabra "cubo elástico" parece insinuar que se está produciendo una colisión elástica, que inicialmente traté como si implicara que la KE total es constante, lo que significaría que la velocidad es la misma después de la colisión, es decir $v$ , y si designamos el ángulo deseado como $\theta$ (con la vertical hacia arriba), entonces podemos escribir $v_{x}$ y $v_{y}$ en términos de $v$ y $\theta$ , y resolver para $\theta$ fácilmente, utilizando identidades trigonométricas básicas. La expresión resulta ser $\theta= \alpha +2 \arctan(\mu)$ .
Sin embargo, la presencia de fricción desafía la suposición de KE constante. Traté de investigar si la fricción funciona o no:

Se dice que el cubo es elástico . La elasticidad significa la tendencia a recuperar su forma. Basado en esto, inicialmente traté de razonar que inicialmente la superficie se deforma, pero luego se recupera la forma original. Pensé que esto implica que el "desplazamiento" neto de la superficie es $0$ , por lo tanto, la fricción no realiza trabajo.

Sin embargo, esta suposición también es incorrecta, ahora que lo pienso. Así es simplemente como funcionan las fuerzas no conservativas: llevar una pelota del punto A al B, luego de regreso a A, sobre una superficie rugosa, no significa que el trabajo neto por fricción sea 0. La fricción realiza trabajo negativo en ambos viajes. Algo similar sucede aquí también, supongo. Además, creo que el límite de la superficie también se mueve verticalmente (aunque ligeramente).

Para calcular el ángulo, necesitamos la relación $v_x/v_y$ . El argumento anterior sugiere que es difícil saber explícitamente qué $v_{y}$ es, por lo tanto, de alguna manera necesitamos extraer el valor de $v_x/v_y$ de esa ecuación.

Ahora, tiene que haber algún significado de que el cubo sea elástico . En la mayoría de los problemas de colisión, el coeficiente de restitución de Newton $e$ se utiliza para dar cuenta de cuán elástica es la colisión. Y, cuando la colisión no es frontal, muchas fuentes establecen la ecuación $e=1$ (para colisiones elásticas) se aplica a lo largo de la línea de impacto . En este caso, esto significa $\dfrac{|v_{x,\text{after collision}}|}{|v_{x,\text{before collision}}|}=1$ , es decir $v_{x}=v\sin(\alpha)$ . Con esto, podemos resolver fácilmente la relación deseada. Obtenemos:

θ = arcán \frac{broncearse (α)}{1 - 2 m broncearse (α)}

$\theta= \arctan{\dfrac{\tan(\alpha)}{1-2\mu \tan(\alpha)}}$

Sin embargo, el problema con esto es que, en mi opinión, $e=1$ a lo largo de la línea de impacto, no es una ley independiente de la naturaleza . Tiene que ser derivable usando consideraciones de energía y momento, y esto es precisamente lo que deseo saber principalmente.

¿Cómo podemos, usando únicamente consideraciones de energía y cantidad de movimiento, y el hecho de que el cubo es "elástico", deducir que la magnitud de la velocidad horizontal es la misma que antes de la colisión?

Solo deseo saber a qué se traduce la "elasticidad" del cubo, en términos de energía e impulso. Alternativamente, quiero saber por qué es que podemos aplicar $e=1$ "sólo a lo largo de la línea de impacto". La respuesta a esto debe basarse en cómo $N$ opera durante la colisión.

Además, cualquiera que sea esa explicación, implicará directamente que hay alguna pérdida de energía, ya que la respuesta que usa el enfoque 2 difiere del enfoque 1 (que asumía la conservación de la energía). Lo que me lleva a mi segunda pregunta:

¿Qué sucede exactamente durante la colisión que resulta en la pérdida de energía?

Al comienzo del enfoque 2, traté de llegar a algún tipo de teoría, sin embargo, necesito algún tipo de verificación de si ese es el razonamiento correcto o no.

Por último, la respuesta en el libro establece (aparte de la expresión dada en el enfoque 2), que el ángulo será $\pi /2$ si $\tan(\alpha)>1/2 \mu$ .

¿Por qué será este el caso?

Parece que he planteado muchas preguntas, pero en mi opinión todas están muy relacionadas, con la correcta comprensión de cómo interactúa el cubo con la pared durante la colisión.

satanás 29

Si alguien está votando para cerrar esta pregunta, considere mencionar el motivo para que pueda editarlo adecuadamente. En mi opinión, la pregunta no es como una tarea, hace preguntas válidas y definitivamente es convencional. Para mí, parece una pregunta perfectamente válida para hacer en este sitio.

RW pájaro

¿Tu cubo se desliza sobre un piso horizontal o se mueve hacia arriba en un pequeño ángulo con respecto a la vertical?

satanás 29

Se desliza por un suelo horizontal, sí, y la dirección de la velocidad se muestra en la imagen, en el momento del impacto.

RW pájaro

¿Tu superficie horizontal se está moviendo hacia arriba?

Respuestas (1)

Analizando la colisión de un cuerpo elástico con una superficie rugosa

Si alguien está votando para cerrar esta pregunta, considere mencionar el motivo para que pueda editarlo adecuadamente. En mi opinión, la pregunta no es como una tarea, hace preguntas válidas y definitivamente es convencional. Para mí, parece una pregunta perfectamente válida para hacer en este sitio.
¿Tu cubo se desliza sobre un piso horizontal o se mueve hacia arriba en un pequeño ángulo con respecto a la vertical?
Se desliza por un suelo horizontal, sí, y la dirección de la velocidad se muestra en la imagen, en el momento del impacto.

Vicente Thacker · Answer 1

¿Cómo podemos, usando únicamente consideraciones de energía y cantidad de movimiento, y el hecho de que el cubo es "elástico", deducir que la magnitud de la velocidad horizontal es la misma que antes de la colisión?

Para entender esto, podría ser útil simplificar el problema. Primero podemos eliminar la fricción en todas partes, ya que la fricción solo actúa en el $y$ -dirección y no influye en el movimiento en el $x$ -dirección, que es lo que nos interesa. Entonces podemos realizar un impulso galileano de $v\cos\alpha$ en el $y$ -dirección, de modo que el bloque se mueva sólo en la $x$ -dirección. En este marco, el piso y la pared se mueven hacia atrás ( $-y$ -dirección), pero debido a que hemos eliminado la fricción, este movimiento es irrelevante y se puede poner a cero (suponiendo que no se deformen).

Por lo tanto, hemos reducido la situación a un cubo perfectamente elástico que se mueve en línea recta hacia una pared, golpea y luego retrocede en la misma dirección de la que vino. Debido a que el cubo es elástico, puede ser reemplazado por un resorte de igual masa orientado perpendicularmente a la pared.

Hay dos formas de deducir que las velocidades del resorte antes y después de la colisión deben ser iguales:

Argumento energético: Este es el camino fácil. El resorte comienza con solo energía cinética. En el punto medio de la colisión (donde el resorte se detiene instantáneamente y su compresión es máxima), toda esta energía cinética se convierte en energía potencial elástica en el resorte. Toda esta energía potencial elástica debe volver a convertirse en energía cinética cuando el resorte se mueve nuevamente. En el caso no ideal, parte de la energía cinética inicial se pierde debido a la deformación permanente del resorte/superficie.
Argumento de la fuerza: esto es un poco más difícil de ver. La fuerza del resorte es lo que hace que el resorte se detenga. Esta fuerza es función de la compresión. $x$ del resorte solamente, es decir $F=F(x)$ . Durante cualquier lapso de tiempo infinitesimal $\text{d}t$ durante la colisión, el cambio en el momento es $F(x) \text{d}t = F(x) \text{d}x/\dot{x}$ . El cambio total en la cantidad de movimiento desde el inicio hasta el punto medio (entrante) es entonces $-\Delta p = \int_0^{x_0} F(x) \text{d}x/\dot{x}$ . Cuando el resorte se aleja (hacia afuera) nuevamente, el cambio en el impulso es simplemente la misma integral con los límites invertidos. Esto debe ser igual a $\Delta p$ porque ambos $F(x)$ y $\dot{x}$ son funciones de estado de $x$ solo. En otras palabras, el movimiento de salida es el movimiento de entrada reproducido al revés. En el caso no ideal, la $F$ porque la porción saliente no es lo mismo que la $F$ para la parte de entrada, porque el resorte se ha deformado y ejerce menos fuerza al salir. Por lo tanto, la integral de salida no es lo mismo que la integral de entrada para el impulso.

¿Qué sucede exactamente durante la colisión que resulta en la pérdida de energía?

Cuando volvemos al problema original, el argumento de la fuerza (en el $x$ -dirección) es la que se aplica directamente, porque la energía cinética

\frac{1}{2} metro ({v_{X}}^{2} + {v_{y}}^{2})

$\frac{1}{2} m\left({v_x}^2+{v_y}^2\right)$ no se conserva debido al rozamiento

v_{y}

${v_y}$ . Puede parecer que el argumento de la energía no se aplica, pero eso no es cierto. La cantidad que se conserva es

\frac{1}{2} metro {v_{X}}^{2}

$\frac{1}{2} m{v_x}^2$ excepto que no se llama energía cinética. Esto se reduce al hecho de que el

x

$x$ y

y

$y$ los ejes son ortogonales entre sí. Este es un punto sutil, porque la pregunta no decía que la colisión en sí es elástica; más bien sólo lo es el cubo.

Gracias por la respuesta, esto es casi exactamente en la línea de lo que quería. Sin embargo, ¿qué tan apropiado es tratar el cubo como un resorte?
@ satan29 Cada objeto es comprimible, y la relación de fuerza por unidad de área de sección transversal al cambio (fraccional) de longitud se conoce como el módulo de Young del objeto (aquí es donde la constante de resorte $k$ viene de). La palabra "elástico" significa que cuando se suelta, el objeto vuelve completamente a su forma original y se devuelve toda la energía potencial elástica.
Eso tiene sentido entonces, modelar la pelota como un resorte, hmm

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satanás 29

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RW pájaro

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Vicente Thacker

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