¿Es posible determinar el resultado de cualquier impacto conociendo solo la proporción de masas? [duplicar]

Razonaría en este sentido. Coloque el sistema en el centro de masa. Luego, en la colisión, considere el plano que pasa por el centro de masa y es perpendicular a la línea que pasa por los centros de las bolas. Dado que este plano está fijo en el marco del centro de masa, este se comporta como una pared contra la que chocan las bolas y, por lo tanto, los vectores de velocidad después de la colisión están determinados por las leyes habituales de reflexión de la colisión elástica de una bola contra una pared fija.

Se puede comprobar mediante un cómputo directo que este argumento arroja los resultados esperados en los casos

1. de$m_1=m_2$;
2. colisión lineal, es decir$\theta = 0$, y diferentes masas.

EDITAR : Después de una demanda apremiante de detalles, aquí hay algunos.

Supongamos que la pelota$A$se mueve con velocidad$v_1$a lo largo de la dirección positiva de la horizontal, es decir$x$, el eje y la pelota$B$es estacionario Dejar$\theta$Sea el ángulo entre la dirección del movimiento de$A$y la línea que pasa por los centros de la bola en el momento de la colisión. Denotamos por$\mu$la relación entre las dos masas, es decir, conjunto

$$\mu=\frac{m_B}{m_A}.$$ La velocidad del centro de masa está dada por $$\mathbf v_{cm} = \frac1{1+\mu}v_A\mathbf i,$$ y por lo tanto en el marco del centro de masa tenemos $$\mathbf u_A =\frac\mu{1+\mu}v_A\mathbf i,\qquad\mathbf u_B =-\frac1{1+\mu}v_A\mathbf i.$$ Si en la imagen de arriba $A$es la pelota de la izquierda y $B$es la pelota de la derecha, después de la colisión tenemos velocidades $$\begin{align}\mathbf u_A' &=-\frac\mu{1+\mu}v_A\cos(2\theta)\mathbf i - \frac\mu{1+\mu}v_A\sin(2\theta)\mathbf j,\\\mathbf u_B'&=\frac1{1+\mu}v_A\mathbf\cos(2\theta)\mathbf i + \frac1{1+\mu}v_A\mathbf\sin(2\theta)\mathbf j.\end{align}$$ El último paso es devolver todo al marco original sumando la velocidad del centro de masa a todas las velocidades calculadas, obteniendo así $$\begin{align}\mathbf v_A' &=\left(\frac1{1+\mu}-\frac\mu{1+\mu}\cos(2\theta)\right)v_A\mathbf i-\frac\mu{1+\mu}v_A\sin(2\theta)\mathbf j,\\\mathbf v_B'&=\frac1{1+\mu}\left(1+\cos(2\theta)\right)v_A\mathbf i +\frac1{1+\mu}v_A\mathbf\sin(2\theta)\mathbf j.\end{align}$$ Uno ve fácilmente que el ángulo de bola $B$es lo mismo que en el caso $\mu=1$, desde $$\tan(\theta_B) = \frac{\sin(2\theta)}{1+\cos(2\theta)} =\tan\theta,$$ mientras que el ángulo de la bola $A$ahora depende de $\mu$a través de $$\tan(\theta_A) = \frac{\sin(2\theta)}{\frac1\mu-\cos(2\theta)}.$$ Se puede comprobar que, por $\mu=1$, se obtiene de nuevo el resultado esperado, a saber $$\mu = 1\quad\Rightarrow\quad\tan(\theta_A) = \cot(\theta).$$

Observación No hace falta decir que esos ángulos deben corregirse para caer en el cuadrante derecho, por lo que también se deben tener en cuenta los signos de la componente de las velocidades, y esto no se hace en las fórmulas anteriores.

Los pasos anteriores muestran cómo pasar al centro de masa simplifica drásticamente el problema original.

Aquí está la solución de$\theta_A$contra$\theta$para el caso$\mu=3$. En$\theta = 60^\circ$el ángulo$\theta_A$es aproximadamente$46^\circ$, mientras que en$\theta = 0$, se predice retrodispersión .

Plantearé el problema de la siguiente manera. Supongamos que la línea de centros está a lo largo del eje x. Velocidad inicial de$m_1$es$u_1$en un angulo$\theta$al eje x. velocidad final de$m_{1}$es$v_1$en un angulo$\alpha$al eje x. La velocidad final de$m_2$es$v_2$y está a lo largo de la línea de centros (el eje x), tal que$\alpha$es el ángulo entre las velocidades finales de las dos bolas.

Dos ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento

$$m_1 u_1 \cos \theta = m_1 v_1 \cos \alpha + m_2 v_2\ \ \ \ (1)$$
$$m_1 u_1 \sin \theta = m_1 v_1 \sin \alpha\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$

Si$R= m_1/m_2$entonces puedo manipular estos para dar

$$v_2 = R u_1 \left(\cos \theta - \cos\alpha \frac{\sin\theta}{\sin \alpha}\right)\ \ \ \ \ \ (3)$$

Ahora usando la conservación de la energía cinética en una colisión elástica

$$m_1 u_1^{2} = m_1 v_1^{2} + m_2 v_2^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ (4)$$

reemplazando$v_2$de (3) y usando$v_1 = u_1 \sin\theta /\sin \alpha$de (2), después de un poco de álgebra, obtengo la siguiente expresión horrible

$$R = \frac{\sin^2 \alpha - \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta \sin^2 \alpha - 2 \sin\theta \cos\theta \sin \alpha \cos\alpha + \sin^2\theta\cos^2\alpha}\ \ \ \ (5)$$

Si$\alpha=\pi/2$, entonces efectivamente la solución es$R=1$por cualquier valor de$\theta$.

De la fórmula (5) anterior. Sustituto$1/(1+\tan^2)$para$\cos^2$, sustituto$1 - 1/(1+\tan^2)$para$\sin^2$y las raíces cuadradas correspondientes para$\cos$y$\sin$. Esto dará una ecuación exclusivamente en términos de$\tan\theta$y$\tan \alpha$.

$$R = \frac{\tan^{2}\alpha(1+\tan^2\theta) -\tan^2\theta(1+\tan^2\alpha)}{\tan^2\alpha - 2\tan\theta\tan\alpha + \tan^2\theta}$$ Reorganizar esto en un cuadrático en $\tan^2\alpha$de este modo: $$(R-1)\tan^2\alpha -2R\tan\theta\tan\alpha +(R+1)\tan^2\theta = 0$$ De este modo $$\tan\alpha = \tan\theta \left(\frac{R \pm 1}{R-1}\right)$$

Solo una de estas raíces tiene sentido.

$$\tan\alpha = \tan\theta \left(\frac{R+1}{R-1}\right),$$ y por supuesto un valor negativo de $\tan\alpha$solo significa que $\alpha>90^{\circ}$.

EDITAR: Como prueba, conecté esto a una herramienta gráfica con$\theta=60^{\circ}$(curva roja). La siguiente gráfica muestra$R$contra$\alpha$(recuerde que este es el ángulo entre los vectores de velocidad final). Observe que el valor mínimo de$\alpha$es$60^{\circ}$cuando$R$es muy grande. Como$R$disminuye,$\alpha$se hace más grande, alcanzando aproximadamente$73^{\circ}$(es decir$13^{\circ}$desde el eje x en su diagrama) para$R=3$, entonces$90^{\circ}$para$R=1$, y sobre$106^{\circ}$($46^{\circ}$al eje x en su diagrama) para$R=1/3$. Hay una curva única para cada$\theta$(la curva azul muestra$\theta=30^{\circ}$para comparacion). Tenga en cuenta que las curvas roja y azul solo se cruzan en$R=1$. Este valor de$R$es el único que determina de forma única el ángulo de separación, para todos los demás valores de$R$también depende de$\theta$.

$R$contra$\alpha$para dos valores de$\theta$.