Diferentes representaciones del álgebra de Lorentz

ACTUALIZACIÓN: respuesta editada para ser coherente con la última versión de la pregunta.

Las diferentes definiciones que mencionaste NO son definiciones. De hecho, lo que estás describiendo son diferentes representaciones del Álgebra de Lorentz. La teoría de la representación juega un papel muy importante en la física.

En lo que respecta al álgebra de Lie, los generadores$L_{\mu\nu}$son simplemente algunos operadores con algunas propiedades de conmutación definidas.

Las opciones$L_{\mu\nu} = J_{\mu\nu}, S_{\mu\nu}$y$M_{\mu\nu}$son diferentes realizaciones o representaciones de una misma álgebra. Aquí, estoy definiendo

$$\begin{align} \left( J_{\mu\nu} \right)_{ab} &= - i \left( \eta_{\mu a} \eta_{\nu b} - \eta_{\mu b} \eta_{\nu a} \right) \\ \left( S_{\mu\nu}\right)_{ab} &= \frac{i}{4} [ \gamma_\mu , \gamma_\nu ]_{ab} \\ M_{\mu\nu} &= i \left( x_\mu \partial_\nu + x_\nu \partial_\mu \right) \end{align}$$ Otra representación posible es la trivial, donde $L_{\mu\nu}=0$.

¿Por qué es importante tener estas diferentes representaciones?

En física, uno tiene varios campos diferentes (que denotan partículas). Sabemos que estos campos deben transformarse de alguna manera bajo el grupo de Lorentz (entre otras cosas). La pregunta entonces es, ¿Cómo se transforman los campos bajo el grupo de Lorentz ? La respuesta es simple. Elegimos diferentes representaciones del álgebra de Lorentz y luego definimos los campos para transformar bajo esa representación. Por ejemplo

1. Los objetos que se transforman bajo la representación trivial se llaman escalares.
2. Objetos que se transforman bajo$S_{\mu\nu}$se llaman espinores.
3. Objetos que se transforman bajo$J_{\mu\nu}$se llaman vectores.

Uno puede pensar en otras representaciones también, pero estas son las más comunes.

Qué pasa$M_{\mu\nu}$¿usted pregunta? Los objetos que describí anteriormente son en realidad cómo se transforman los campos NON (a falta de un término mejor. Simplemente me refiero a objetos que no dependen del espacio-tiempo). Por otro lado, en física, nos preocupamos por los CAMPOS. Para describir a estos tipos, es necesario definir no solo la transformación de sus componentes, sino también las dependencias del espacio-tiempo. Esto se hace incluyendo la$M_{\mu\nu}$representación a todas las definiciones descritas anteriormente. entonces tenemos

1. Campos que se transforman bajo la representación trivial$L_{\mu\nu}= 0 + M_{\mu\nu}$se llaman campos escalares.
2. Campos que se transforman bajo$S_{\mu\nu} + M_{\mu\nu}$se llaman campos de espinor.
3. Campos que se transforman bajo$J_{\mu\nu} + M_{\mu\nu}$se llaman campos vectoriales.

Matemáticamente, nada hace que estas representaciones sean más fundamentales que las demás. Sin embargo, la mayoría de las partículas en la naturaleza se pueden agrupar en escalares (Higgs, piones), espinores (quarks, leptones) y vectores (fotón, bosón W, bosón Z). Por lo tanto, las representaciones anteriores son a menudo todo lo que se habla.

Hasta donde yo sé, las álgebras de Clifford se usan solo para construir representaciones de espinores del álgebra de Lorentz. Tal vez haya algún contexto oscuro en alguna otra parte de la física donde aparezca esto, pero no lo he visto. Por supuesto, no soy un experto en toda la física, así que no confíe en mi palabra. Otros pueden tener una perspectiva diferente de esto.

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Finalmente, solo para ser explícito acerca de cómo se transforman los campos (según lo solicitado), lo menciono aquí. un campo general$\Phi_a(x)$transforma bajo una transformación de Lorentz como

$$\Phi_a(x) \to \sum_b \left[ \exp \left( \frac{i}{2} \omega^{\mu\nu} L_{\mu\nu} \right) \right]_{ab} \Phi_b(x)$$ dónde $L_{\mu\nu}$es la representación correspondiente al tipo de campo $\Phi_a(x)$y $\omega^{\mu\nu}$es el parámetro de la transformación de Lorentz. Por ejemplo, si $\Phi_a(x)$es un espinor, entonces $$\Phi_a(x) \to \sum_b \left[ \exp \left( \frac{i}{2} \omega^{\mu\nu} \left( S_{\mu\nu} + M_{\mu\nu} \right) \right) \right]_{ab} \Phi_b(x)$$