Análisis de circuito del método de corriente de malla para la solución de estado estacionario y transitorio de CA del circuito RL

Hola a todos, estoy tratando de encontrar las corrientes a través de cada rama para el circuito anterior usando el método de corriente de malla (ya que realmente no sé cómo hacerlo), y termino con dos ecuaciones diferenciales simultáneas:

$$Mesh 1: R_si_1+R_1(i_1-i_2)+L_1\frac{d}{dt}(i_1-i_2)=155cos(377t)$$ $$Mesh 2: R_2i_2+L_2\frac{d}{dt}i_2+L_1\frac{d}{dt}(i_2-i_1)+R_1(i_2-i_1)=0$$

Estos se simplifican a:

$$Mesh 1: (R_s+R_1)i_1-R_1i_2+L_1\frac{d}{dt}i_1-L_1\frac{d}{dt}i_2=155cos(377t)$$ $$Mesh 2: -R_1i_1+(R_1+R_2)i_2-L_1\frac{d}{dt}i_1+(L_1+L_2)\frac{d}{dt}i_2=0$$

El problema que tengo es que no puedo encontrar una combinación lineal de estas ecuaciones para eliminar las variables i_1 o i_2 para resolver el sistema.

¿Estoy haciendo esto de la manera incorrecta? ¿O hay una manera más fácil de resolver esto?

Puedo encontrar fácilmente la solución de estado estacionario reduciendo todo a impedancias, pero también necesito encontrar la solución transitoria.