"Reactancia capacitiva" equivalente para calcular la corriente rms bajo una forma de onda de voltaje de CA de frecuencia mixta

Question

"Reactancia capacitiva" equivalente para calcular la corriente rms bajo una forma de onda de voltaje de CA de frecuencia mixta

C.A
Física
resistencia reactiva
análisis de circuitos

usuario115412

Quiero analizar un circuito muy simple sujeto a una forma de onda de voltaje de CA de conducción no tan simple. En particular, mi circuito consta simplemente de un solo capacitor con capacitancia $C$ y una fuente de voltaje AC $V$ . Ahora si $V$ estaban operando a una frecuencia angular fija $\omega$ , entonces podría calcular la reactancia capacitiva $X_c$ muy simple como:

X_{C} (ω) = \frac{1}{ω C}

$X_c(\omega) = \frac{1}{\omega C}$

Sin embargo, ¿qué pasa si la forma de onda de mi fuente de voltaje está compuesta por una mezcla de frecuencias dadas por una función de densidad espectral, es decir, transformada de Fourier):

F (ω) : \int_{0}^{\infty} F (ω) d ω = 1

$f(\omega):\int_{0}^{\infty} f(\omega)d\omega = 1$

Pregunta : Me preguntaba si existe una forma de obtener una "reactancia capacitiva equivalente" $X_{c,eqiv}$ tal que:

I_{r metro s} = \frac{V_{r metro s}}{X_{C, mi q i v}}

$I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_{c,eqiv}}$

??

Mi reacción inicial es que $X_c(\omega)$ es aditivo a través de las frecuencias, por lo que obtenemos el funcional:

X_{C, mi q tu i v} = \int_{0}^{\infty} \frac{F (ω)}{ω C} d ω

$X_{c,equiv}= \int_{0}^{\infty} \frac{f(\omega)}{\omega C}d\omega$

Con el requisito de que

\underset{t \to 0}{límite} \frac{F (t)}{t} < \infty

$\lim_{t\to 0}\frac{f(t)}{t} < \infty$

para asegurar que la integral impropia converja.

Si $f(0)=0$ entonces podemos usar la regla de L'Hospital para fortalecer esto para:

F^{'} (0) < \infty

$f'(0)<\infty$

Pregunta: ¿Es este el enfoque correcto para obtener $X_c$ para circuitos de frecuencia mixta?

Respuesta al comentario de Andy alias

Andy solicitó un escenario específico. A continuación se muestra un ejemplo de una configuración que estoy analizando:

esquemático

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

La forma de onda de la fuente de voltaje $V(t)$ tiene la siguiente transformada de Fourier en el dominio de la frecuencia ( $f$ en kHz):

S (F) = \frac{{mi}^{- \frac{1}{2} {registro}^{2} (F)}}{\sqrt{2 π} F}

$S(f) = \frac{e^{-\frac{1}{2} \log^2(f)}}{\sqrt{2 \pi} f}$

Supervisaré la corriente en el punto indicado y calcularé el valor rms de la forma de onda de corriente resultante.

Esa es una configuración bastante típica, aunque los valores específicos cambiarán, o puedo usar una distribución diferente sobre las frecuencias.

Chu

Para aclarar su pregunta, si toma el caso simple donde

f (ω)

$f(\omega)$ se compone de dos sinusoides discretos en, digamos,

ω_{1}

$\omega_1$ y

ω_{2}

$\omega_2$ , que dará dos valores de

X_{c}

$X_c$ . ¿En qué sentido serían aditivos estos dos valores de reactancia? En otras palabras, ¿qué sería

X_{c} (f)

$X_c(f)$ ¿parece?

usuario115412

@Chu en ese caso,

f (ω)

$f(\omega)$ tendría la forma

f (ω) = α 1 (ω)_{ω_{1}} + (1 - α) 1 (ω)_{ω_{2}}

$f(\omega)=\alpha 1(\omega)_{\omega_1} + (1-\alpha) 1(\omega)_{\omega_2}$ dónde

0 \leq α \leq 1

$0\leq \alpha \leq 1$ y la capacitancia resultante sería

X_{c} (f) = α X_{c} (ω_{1}) + (1 - α) X_{c} (ω_{2})

$X_c(f) = \alpha X_c(\omega_1)+(1-\alpha) X_c(\omega_2)$

usuario115412

@Chu, muchas gracias. Sí, me preguntaba dónde entró en juego la aditividad. Esperaba poder reducir una situación compleja como la que describo en un circuito "equivalente a rms" impulsado por un voltaje de CA de frecuencia única y algo de capacitancia. Según sus comentarios y los de Andy, parece que esta integración tiene que ocurrir en el valor RMS real en sí mismo, y no en la reactancia subyacente (es decir, tal vez no haya un análogo del teorema de Thevenin para circuitos de CC para esta situación).

usuario115412

@Chu ¿A dónde fue tu comentario? Fue útil

capitánj2001

@Bey Su amperímetro no observará nada si no está en serie con la corriente que le gustaría medir.

usuario115412

@ Captainj2001 Gracias... No soy ingeniero eléctrico (matemáticas aplicadas/ingeniería), así que estaba escribiendo esto como un punto de control... Lo corregiré.

Respuestas (2)

"Reactancia capacitiva" equivalente para calcular la corriente rms bajo una forma de onda de voltaje de CA de frecuencia mixta

Para aclarar su pregunta, si toma el caso simple donde $f(\omega)$ se compone de dos sinusoides discretos en, digamos, $\omega_1$ y $\omega_2$ , que dará dos valores de $X_c$ . ¿En qué sentido serían aditivos estos dos valores de reactancia? En otras palabras, ¿qué sería $X_c(f)$ ¿parece?
@Chu en ese caso, $f(\omega)$ tendría la forma $f(\omega)=\alpha 1(\omega)_{\omega_1} + (1-\alpha) 1(\omega)_{\omega_2}$ dónde $0\leq \alpha \leq 1$ y la capacitancia resultante sería $X_c(f) = \alpha X_c(\omega_1)+(1-\alpha) X_c(\omega_2)$
@Chu, muchas gracias. Sí, me preguntaba dónde entró en juego la aditividad. Esperaba poder reducir una situación compleja como la que describo en un circuito "equivalente a rms" impulsado por un voltaje de CA de frecuencia única y algo de capacitancia. Según sus comentarios y los de Andy, parece que esta integración tiene que ocurrir en el valor RMS real en sí mismo, y no en la reactancia subyacente (es decir, tal vez no haya un análogo del teorema de Thevenin para circuitos de CC para esta situación).
@Bey Su amperímetro no observará nada si no está en serie con la corriente que le gustaría medir.
@ Captainj2001 Gracias... No soy ingeniero eléctrico (matemáticas aplicadas/ingeniería), así que estaba escribiendo esto como un punto de control... Lo corregiré.

capitánj2001 · Answer 1

Ya que ahora ha especificado un circuito para analizar, veamos el método normal de análisis usando funciones de transferencia. El método normal de análisis para este tipo de circuito se llama análisis de función de transferencia, es decir, encontrar la dependencia de la corriente de salida, que tomaré a través del capacitor, en el voltaje de entrada. Es decir, la función de transferencia está definida por:

H (j ω) = \frac{I_{o tu t} (j ω)}{V_{i norte} (j ω)} (S)

$H(j\omega) = \frac{I_{out}(j\omega)}{V_{in}(j\omega)}~(S)$ Para el circuito provisto, esto da la función de transferencia de voltaje -> corriente (con unidades de Siemens) de:

I_{o tu t} (j ω) = \frac{V_{i norte} (j ω)}{\frac{1}{j ω C}} = j ω C V_{i norte} (j ω) H (j ω) = j ω C

$I_{out}(j\omega) = \frac{V_{in}(j\omega)}{\frac{1}{j\omega C}}=j\omega C V_{in}(j\omega)\\ H(j\omega) = j\omega C$ Dado que ha decidido que la distribución de frecuencia de entrada se distribuirá logarítmicamente al cuadrado:

V_{i norte} (j ω) = \frac{{mi}^{- \frac{1}{2} {registro}^{2} (j ω)}}{j ω \sqrt{2 π}}

$V_{in}(j\omega) = \frac{e^{-\frac{1}{2}\log^2(j\omega)}}{j\omega\sqrt{2\pi}}$

I_{o tu t} (j ω) = H (j ω) V_{i norte} (j ω) = \frac{{mi}^{- \frac{1}{2} {registro}^{2} (j ω)}}{j ω \sqrt{2 π}} \cdot j ω C = \frac{C {mi}^{- \frac{1}{2} {registro}^{2} (j ω)}}{\sqrt{2 π}}

$I_{out}(j\omega) = H(j\omega)V_{in}(j\omega) \\ = \frac{e^{-\frac{1}{2}\log^2(j\omega)}}{j\omega\sqrt{2\pi}}\cdot j\omega C \\ = \frac{Ce^{-\frac{1}{2}\log^2(j\omega)}}{\sqrt{2\pi}}$ Si desea ver cómo se ve esta respuesta en el dominio del tiempo, puede encontrar la corriente en el dominio del tiempo real tomando la transformada inversa de Fourier:

I_{o tu t} (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} I_{o tu t} (j ω) {mi}^{j ω t} d ω

$I_{out}(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty I_{out}(j\omega)e^{j\omega t}d\omega$ La constante adjunta a la transformada de Fourier dependerá de la "forma" de la transformada que esté utilizando. Por lo general, en EE adjuntaremos la constante en la transformada inversa.

¡Gracias! Estaba tratando de averiguar la distribución de la corriente si la fuente de voltaje fuera ruido blanco (gaussiano). Entonces parece que no hay un circuito simple "equivalente a thevenin" que opere a una frecuencia fija (que es lo que supuse en mi publicación).
Específicamente, esperaba poder calcular mi "reactancia equivalente" $X_c(f)$ y obtener la corriente rms como $I_{rms}=\frac{V_{rms}}{X_c(f)}$
@Bey Puede calcular los circuitos equivalentes de Thevenin en el dominio de la frecuencia utilizando el mismo método, es decir, encontrar la corriente de cortocircuito y el voltaje de circuito abierto entre dos nodos. Su circuito equivalente de Thevenin solo tendrá una impedancia compleja en lugar de una resistencia real.
¡Gracias de nuevo! Entonces, si conozco mi voltaje rms, ¿puedo calcular una capacitancia equivalente como se mencionó en mi comentario anterior (nota, he creado una nueva pregunta sobre este problema: electronics.stackexchange.com/questions/243674/… )

Andy alias · Answer 2

Andy alias

Mi reacción inicial es que Xc(ω) es aditivo a través de las frecuencias

Tomemos el caso de un capacitor simple de 1uF a 1kHz, tiene una reactancia de 159 ohmios. Es tan simple como eso.

Sí, tiene una reactancia de 15,9 ohmios a 10 kHz, pero nadie dice que la reactancia es de 159 ohmios en paralelo (o en serie) con 15,9 ohmios. Hacer eso es perder el punto completo.

usuario115412

Gracias, pero estoy interesado en la respuesta de mi circuito simple a una señal de frecuencia mixta. Entonces, sí, puedo hablar sobre su reactancia puntualmente, pero mi circuito responde a la combinación particular de frecuencias. Por ejemplo, ¿cuál es la corriente rms del circuito anterior si su densidad espectral de CA tiene, digamos, una distribución Lognormal (0,1)?

Andy alias

Está perdiendo el punto cuando piensa que puede agregar reactancias a diferentes frecuencias y no voy a hacer un ejemplo hipotético para probar la inutilidad de su creencia de que de alguna manera agregar reactancias es significativo de alguna manera.

usuario115412

Mire, estoy tratando de entender la respuesta de este circuito simple a una entrada de frecuencia mixta. Mi conjetura inicial es lo que se indicó anteriormente. No estoy afirmando que esto sea correcto. Esa es mi pregunta, y le agradecería que me indicara la forma correcta de pensar al respecto. Un ejemplo concreto es calcular la corriente rms resultante del circuito dada la forma de onda de entrada.

usuario115412

Supongo que una pregunta más amplia (demasiado amplia, creo) es cómo analizar el comportamiento del circuito si está impulsado por algo que no sea un buen voltaje de onda sinusoidal.

Andy alias

Dibuje/describa un circuito y establezca la forma de onda de entrada. Luego indique la señal que desea "entender" que ha sido producida por un componente reactivo que remodela la forma de onda de entrada. Es imposible generalizar sobre un concepto del que creo que no entiendes.

usuario115412

Ok, he incluido una configuración específica para mostrar lo que estoy tratando de lograr. Espero que ayude. Gracias por cualquier sugerencia que pueda proporcionar.

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Respuesta al comentario de Andy alias

Chu

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