Algunas preguntas sobre "contexto" en Lógica Matemática

Solo como información adicional: Barwise trabajó durante una o dos décadas en el análisis de la situación (que parece muy similar a lo que usted llama 'contexto') en lógica. Propuso cambios a los principales enfoques de la lógica, destinados a incluir la 'situación'. Desafortunadamente, no sé a qué tipo de desarrollos llevaron sus estudios después. Puede consultar su texto principal sobre esto, que es una colección parcial de documentos. Muy agradable lectura:

J. Barwise: La Situación en la Lógica (CSLI 1988).

Después de una larga discusión con el autor de la pregunta, voy a dividir esta respuesta en dos partes. La primera parte trata de las respuestas a las tres preguntas planteadas en el cuerpo de la pregunta. La segunda parte trata de la respuesta al título de la pregunta, que es "¿La lógica matemática ignora totalmente el contexto?"

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Con respecto a la primera pregunta que pregunta (parafraseando en base a nuestra conversación) "Para responder '¿la lógica matemática ignora totalmente el contexto?', ¿Necesitamos tener una definición de 'contexto en sistemas deductivos naturales?'" La respuesta a esta pregunta es sí, necesitamos tener una definición de contexto antes de que podamos preguntar si la lógica matemática ignora el contexto.

Con respecto a la segunda pregunta que pregunta (parafraseando en base a nuestra conversación) "Si la respuesta a (1) es sí, entonces lo que queremos decir con "contexto de sistemas deductivos naturales" corresponde a "contexto de declaraciones en el idioma inglés? De lo contrario, la lógica no capta lo que es el razonamiento humano". La respuesta a esta pregunta es sí, pero es un sí sutil y solo se aplica cuando expresamos las fórmulas de nuestro sistema lógico en inglés. Cuando hacemos una declaración declarativa en En inglés, estamos haciendo algún tipo de afirmación fáctica. Sin embargo, esto puede ser en referencia a muchos contextos diferentes. Esto podría ser en el contexto del mundo real, podría ser en el contexto de algún mundo ficticio de una película o un libro, o podría ser en referencia a alguna historia alternativa hipotética. Entonces, esto muestra claramente que a veces las declaraciones en inglés son verdaderas y otras no, dependiendo del contexto en el que las pongamos. Si decimos "le disparó al mayordomo" y nos referimos a una película en la que un personaje le dispara a un mayordomo, entonces esa afirmación es correcta. Sin embargo, si nos referimos al mundo real y "él" denota a alguien que no le disparó a un mayordomo, entonces esa afirmación es falsa. Esta es la idea exacta de un dominio de discurso que defino a continuación. Aquí es donde la lógica matemática obtiene su concepto de "contexto" o "significado". El "contexto" de un sistema deductivo natural, al igual que la semántica inglesa, cambia según cómo lo usemos. En inglés se refiere a aquello de lo que estamos hablando (nuestro planeta, alguna otra historia alternativa, el mundo en un libro, etc.)

Con respecto a la tercera pregunta que pregunta (parafraseando en base a nuestra conversación) "Si asumimos que la definición prevista de contexto como se ha dicho al comienzo de la pregunta no es aceptable (es decir, el significado de una declaración es " diferente" de su contexto), entonces, ¿cómo es cierto que los sistemas de deducción natural no ignoran el contexto y en qué sentido?" Primero, definiremos qué significado y qué contexto tienen que ver con esta situación. El "significado" de una declaración en este contexto se refiere a su contenido semántico. En términos de lógica matemática, esto significa las propiedades teóricas del modelo de la declaración particular. "Contexto" se refiere a qué dominio específico del discurso estamos discutiendo. El contexto es el dominio real (el mundo real, o un libro, etc.) ) y el significado es cualquiera de las proposiciones fácticas que se afirman sobre este mundo. Esto lleva directamente a la parte 2 de mi respuesta, que muestra que los sistemas deductivos por sí solos no se ocupan del significado. De la misma manera, las oraciones en inglés por sí solas no tienen que ver con el significado. Si no existe el mundo, si no tenemos dominio del discurso, entonces la oración "La vaca está feliz" no tiene valor de verdad, porque no se refiere a nada. La teoría de modelos, en lógica matemática, es lo que le da a la deducción natural algo a lo que referirse.

Para reiterar una respuesta muy clara y concisa a (3): Por sí mismola deducción natural no se refiere a un contexto o significado específico, porque es solo de naturaleza sintáctica y se refiere solo a los procesos deductivos. La parte "natural" de "deducción natural" no significa "referirse al mundo natural" (ni se refiere a "lenguajes naturales", que puede ser de donde proviene parte de su confusión con respecto a la semántica del inglés). Se usó "natural" porque los inventores de la teoría querían que el proceso deductivo se sintiera más como lo que experimenta la mente humana cuando hace deducciones. Esto no dice nada del contexto en el que se llevan a cabo las deducciones. Para comprender la diferencia entre las ideas puramente sintácticas (teóricas de prueba) y las ideas semánticas (significado y contexto, teoría de modelos), continúe leyendo en la sección 2.

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Ahora podemos pasar a responder la pregunta titular:

La definición de "contexto" en lógica matemática está dada por el dominio del discurso que abarcan las fórmulas. La definición dada en wikipedia es la siguiente:

En las ciencias formales, el dominio del discurso, también llamado universo del discurso, conjunto universal o simplemente universo, es el conjunto de entidades sobre las que pueden oscilar determinadas variables de interés en algún tratamiento formal.

Dada esta definición, las variables que aparecen en una fórmula son solo variables aleatorias hasta que les damos contexto proporcionando un dominio de discurso. En lógica matemática el dominio del discurso viene dado por la teoría de modelos.

Por el contenido de su pregunta, parece que solo se enfoca en la mitad de la lógica matemática, la mitad sintáctica. Sí, es completamente cierto que la mitad sintáctica de la lógica matemática, la teoría de la prueba y la teoría de la recursión, no se preocupan por el contexto en el sentido en que lo definiste ("el significado de las declaraciones en diferentes contextos"). Sin embargo, esto ignora la otra mitad de la lógica matemática, la teoría de conjuntos y la teoría de modelos . La teoría de modelos es la disciplina que explica cómo podemos asignar contexto, significado, a las estructuras sintácticas. La teoría de conjuntos es el estudio de esos objetos específicos y cómo funcionan.

Cuando decimos algo como A ⊧ φ en lógica, estamos afirmando que φ es verdadero en el modelo A , lo que significa en el contexto de A. Es muy común que las personas que solo tienen una introducción básica a la lógica digan "oh, ¡A la lógica no le importa la verdad! Simplemente te dice qué argumentos son válidos, no qué argumentos son verdaderos dado un contexto específico" y esto se debe a que la mayoría de las clases de lógica introductoria no profundizan en la lógica matemática. como peter smithdicho en este esquema de cómo aprender lógica, se refiere a ella como "lógica de bebé". (No pretendo que esto sea desdeñoso hacia usted o incluso implicar que esto es de lo que está hablando. Si sabe qué es la lógica matemática, entonces ya sabe más que las personas que reciben una introducción básica. Mi punto es que es muy común que las clases y las introducciones a la lógica sean muy básicas e ignoren el concepto de semántica y verdad porque es mucho más complicado, y desafortunadamente esto da a las personas una impresión equivocada de lo que es la lógica).

En el Manual de Oxford de Filosofía de las Matemáticas y la LógicaSteward Shapiro tiene un artículo sobre la consecuencia lógica, tanto sintáctica como semántica. La mitad sintáctica de la lógica matemática, la teoría de la prueba y la teoría de la recursión, no trata con contexto, es puramente el estudio de la consecuencia sintáctica y la deducción. La mitad semántica, la teoría de modelos y la teoría de conjuntos, son las herramientas que tenemos para contextualizar la deducción. Son las disciplinas que nos muestran cómo añadir significado a los enunciados lógicos arbitrarios y muestran en qué contexto esos enunciados y su deducción se consideran verdaderos. En su pregunta, hizo declaraciones que se refieren al sistema deductivo utilizado en la lógica matemática para no incluir contexto. Esto es cierto, pero nuevamente, esto solo reconoce la mitad de la lógica matemática. Entonces, si su pregunta es sobre lógica matemática en su conjunto, la respuesta es no, incluye contexto. Si la pregunta es solo sobre deducción,

Teniendo en cuenta que si lo que propusiste fuera cierto, sería horrible si la lógica matemática no tuviera forma de establecer el contexto. Si no tuviera sentido del contexto, no podríamos probar nada sobre los números, ¡ni siquiera las nociones básicas de aritmética! Cuando miramos las reglas deductivas y los axiomas de la aritmética ( PA para este argumento) estamos mirando la estructura sintáctica de algunos axiomas y su sistema deductivo. Sin embargo, usamos la teoría de modelos para discutir estos axiomas en el contexto de los números naturales . Esto significa que estamos interesados ​​en la verdad de estas declaraciones en lo que se refiere a un contexto determinado . Si no pudiéramos discutir modelos, la lógica matemática sería bastante inútil como base para todas las matemáticas.

Por poner un ejemplo muy concreto podemos fijarnos en los axiomas de un grupo . El modelo de un grupo es un conjunto (A,M) donde A es un conjunto de elementos y M es una función que obedece a los axiomas del grupo. Los axiomas de grupo son clausura , asociatividad , identidad e inversión . Ahora bien, un ejemplo de grupo es el conjunto de los números enteros, Z, dotados de la función de multiplicación. Este es un grupo porque en el contexto de Z y la multiplicacióntodas las declaraciones en el lenguaje que son deducibles de estos axiomas son verdaderas. Ahora, en el contexto de un conjunto diferente, digamos los números naturales, N, equipados con multiplicación, los axiomas de grupo no se cumplen. ¿Por qué? Porque, los números naturales no obedecen a los axiomas de inversión. No hay inversión de "1" si no tenemos "-1" como elemento. Claramente, esto demuestra que la deducción es puramente sintáctica, pero la lógica matemática en su conjunto se trata de aplicar la sintaxis a contextos semánticos específicos.

Necesitamos asegurarnos de que esto realmente corresponda (o sea análogo) al "contexto de declaraciones en idioma inglés" porque si este no resulta ser el caso, ¿cómo podemos decir que "la lógica matemática no ignora el contexto "?

La respuesta a esta pregunta es que el "contexto" en lógica se puede definir con precisión sintácticamente , y la sintaxis pretende imitar la idea de subordinación que encontramos en el lenguaje y el razonamiento natural. Entonces, sí, la lógica pretende representar contextos sintácticamente de la misma manera que el lenguaje natural. Pero no, en realidad no puede capturar los contextos del lenguaje natural en un sentido absoluto, porque siempre debe haber una capa de interpretación que convierte los contextos simbólicos y las declaraciones en cualquier sistema lógico en los significados semánticos que (creemos) entendemos.

Para un ejemplo simple, podemos decir:

Sea L la afirmación de que el lenguaje natural es útil.

El sistema lógico nunca puede realizar esa conexión mental entre "el lenguaje natural es útil" y el significado real que transmite a la mayoría de los hablantes de inglés. Además, diferentes personas pueden interpretarlo de manera diferente y es opaco al sistema lógico. Sin embargo, ignoramos deliberadamente ese problema para que podamos manipular las declaraciones lógicamente de acuerdo con las reglas de inferencia antes de regresar e interpretar nuestras conclusiones. Si la audiencia está de acuerdo con la solidez de las reglas de inferencia según sus interpretaciones, entonces es suficiente obligarlos a aceptar conclusiones que se deducen válidamente de premisas aceptadas. Sus interpretaciones pueden ser totalmente diferentes a las nuestras, e incluso es posible que no tengamos forma de saberlo. Ese aspecto nunca puede ser captado por la lógica o las matemáticas.

¿Cómo es cierto que los sistemas de Deducción Natural no ignoran el contexto y en qué sentido?

La deducción natural es simplemente un paradigma , no un sistema en sí mismo. Su principal característica definitoria es que utiliza contextos definidos sintácticamente para permitir y facilitar el razonamiento simbólico dentro y fuera de ellos. En particular, a menudo tenemos reglas de introducción y eliminación para gobernar contextos.

Por ejemplo, la lógica modal S4 tiene un operador de necesidad "☐" que puede regirse por las siguientes reglas de contexto descritas libremente a continuación.

Si has deducido:

☐:

...

PAG.

Puedes deducir:

☐P.

Y viceversa.

También permitimos el razonamiento clásico en cualquier contexto, lo que junto con la capacidad de crear un nuevo contexto bajo un "☐", dará lugar al axioma de distribución tal como se define en este artículo de SEP . Si además añadimos la regla de inferencia de necesidad, automáticamente obtenemos tanto esta como (4), lo que muestra la estrecha relación entre los dos en el marco de la deducción natural.

Aparte, una breve discusión con Not_Here reveló que hay algunas diferencias en nuestras perspectivas, así que las señalaré. En primer lugar, ambos estamos de acuerdo en que las matemáticas (y en particular la deducción natural) pueden tratar y analizar fácilmente el mismo enunciado en diferentes contextos. Sin embargo, él/ella también afirma que la teoría de modelos es la respuesta a la semántica, y enlaza con el artículo de SEP sobre teoría de modelos. Considero que presenta un cuadro incompleto y engañoso, desde la perspectiva de un lógico.

La razón es que, en última instancia, cualquier forma de razonamiento debe basarse en algún metasistema. Sin un metasistema definido con precisión, no hay forma de validar o invalidar argumentos. Pero la única forma conocida de definir con precisión un metasistema, a día de hoy, es a través de la sintaxis. Una forma común es especificar reglas de inferencia de la forma "Si ha deducido declaraciones de la forma..., entonces puede deducir la declaración...", y luego especificar que el metasistema no deduce otras declaraciones además de las generadas. por las reglas de inferencia. Sin embargo, en aras de precisar mi afirmación, este tipo de sistema formal es demasiado restrictivo. Para lograr la mayor generalidad, definimos un sistema formal S como un sistema que tiene un verificador de pruebaV, que es un programa (en algún lenguaje completo de Turing fijo) que, dado como entrada un par (P,X) (en alguna codificación fija), decide (siempre muestra "sí" o "no") si P es un prueba válida de la declaración X o no. Si bien uso los términos "prueba" y "declaración", son simplemente para ayudar a la intuición y en realidad no son parte de la definición. En otras palabras, en realidad definimos que una cadena finita P es una prueba sobre S de una cadena finita X si y si V(P,X) es verdadera, en cuyo caso decimos que X es un teorema de S.

Ahora podemos pasar a la afirmación controvertida. La teoría de modelos , como el término es usado por los lógicos modernos hoy en día, se refiere a una rama de las matemáticas, y las matemáticas modernas generalmente se basan en un sistema formal particular llamado teoría de conjuntos ZFC . Pero la teoría de conjuntos ZFC es solo una de muchas incompatiblesPosibles fundamentos de las matemáticas. Entonces, antes de que uno pueda afirmar que cualquier cosa puede capturar correctamente el significado del mundo real, primero tendría que justificar que se basa en un sistema formal que preserva la verdad para las declaraciones sobre el mundo real. En el caso de la teoría de modelos moderna, uno tendría que justificar que la teoría de conjuntos ZFC tiene significado en el mundo real en este mismo sentido, y esto requeriría que uno pueda dar una interpretación del mundo real de cualquier oración sobre ZFC, y que uno pueda mostrar que los esquemas de axiomas de ZFC preservan la verdad (aquí ya estoy concediendo que la lógica clásica es sólida). Esta es una tarea muy difícil, y ningún lógico lo ha hecho nunca, y recuerde que hay muchos candidatos incompatibles para la base de las matemáticas, por lo que ninguno de ellos puede ser compatible con el mundo real.

Por supuesto, la "teoría de modelos" tal como la usan los filósofos puede significar mucho menos que la "teoría de modelos" que usan los lógicos. Eso es perfectamente normal. Pero la primera consecuencia de la cuestión de tener que especificar con precisión el metasistema es que uno no debe referirse a la teoría de modelos como si solo existiera una noción de este tipo. De hecho, hay un buen espectro de meta-sistemas y las justificaciones filosóficas correspondientes o la falta de ellas, y doy una breve descripción y algunos enlaces en esta publicación .

Debería quedar claro después de observar el espectro de posibles metasistemas que las cosas no se justifican tan fácilmente como absolutas como uno podría pensar. Por ejemplo, nunca se puede considerar que "los números naturales" sean absolutos. Todos los metasistemas útiles tendrán una estructura que satisfaga los axiomas de PA, pero es peculiar de cada metasistema. Ningún metasistema es capaz de referirse a los llamados números naturales 'reales' en el mundo real, incluso si existen. La razón es simple y puede justificarse de la siguiente manera (en un metasistema adecuado).

Tome cualquier sistema formal útil (consistente) S que pueda construir cualquier colección de 'números naturales' que sea definible de primer orden sobre PA. Entonces existe un enunciado aritmético Con(S) tal que:

1. S no prueba que S sea consistente.

2. S prueba que N satisface Con(S) si y solo si S es consistente.

Ahora S no puede probar su propia consistencia, de lo contrario (1) haría que S fuera inconsistente. Entonces S no puede probar que N satisface Con(S). También:

3. ( S + S es inconsistente ) es consistente.

4. ( S + S es inconsistente ) prueba que N satisface PA.

Por supuesto, rechazamos (S + S es inconsistente) como realmente útil, pero ¿por qué? Simplemente porque (aquí en el metasistema) podemos probar que (S + S es inconsistente) debe tener una noción incorrecta de N , a saber, que es diferente del N 'real' (que el metasistema conoce). Pero esto muestra que PA es totalmente insuficiente para captar la noción de números naturales. Históricamente, Gödel también hizo esto para probar la existencia de un modelo no estándar de AP.

Pero esto tiene graves consecuencias. No podemos precisar los números naturales, pero necesitamos especificar un meta-sistema que tenga esa misma colección (que quizás uno podría creer que tiene alguna existencia platónica). Ninguna extensión de PA será suficiente, por lo que nuestro metasistema bien puede estar refiriéndose a algún modelo extraño de PA que no es realmente lo mismo que los números naturales del mundo real (si tal estructura existe). ¡Incluso el propio metasistema conoce esta posibilidad (como se muestra arriba)!

Esta es la razón por la que, en última instancia, es una cuestión filosófica si algún sistema formal dado tiene significado en el mundo real, lo que tiene amplias implicaciones para la teoría de modelos que se lleva a cabo en ese sistema formal como el metasistema de elección. Demasiado débil, y uno no podría deducir cosas básicas sobre la lógica, como se describe en la publicación vinculada. Solo una regla de inferencia 'incorrecta', y el metasistema necesariamente tendría una colección de 'números naturales' que cree que es estándar pero que en realidad no lo es. Si creemos que hay una colección de representaciones en medios físicos que obedecen a PA, cuando se interpretan adecuadamente usando algoritmos (lo que explica por qué HTTPS y otros algoritmos conocidos funcionan), entonces necesariamente creemos que este modelo de PA es estándar por definición de la representaciones físicas, y por tanto no podemos aceptar ningún metasistema que no tenga un modelo estándar de AP. En términos lógicos, solo aceptamos un metasistema que tenga un modelo ω. El problema es que, como es de esperar, no podemos definir el "modelo ω" excepto en relación con un modelo existente de PA...

(En realidad, existe la lógica ω, que en realidad puede precisar los números naturales y toda la teoría de primer orden, pero, naturalmente, la lógica ω no tiene un sistema deductivo efectivo).