¿Alguna interpretación del hecho de que centroide = punto óptimo para maximizar el volumen de dicho cuboide?

(Visualización de un caso de muestra a través de la imagen en la parte inferior)

Considere un avión X a + y b + z C = 1 de modo que interseca con el eje en ( a , 0 , 0 ) , ( 0 , b , 0 ) y ( 0 , 0 , C ) , a , b , C > 0 . Ahora considere maximizar el volumen de tal paralelepípedo, que está en el primer octante, con 3 caras en X = 0 , y = 0 , z = 0 , y un vértice en el plano mencionado anteriormente. Algebraicamente, siempre obtendremos el vértice óptimo en el baricentro del triángulo { ( a , 0 , 0 ) , ( 0 , b , 0 ) y ( 0 , 0 , C ) } en el plano mencionado anteriormente.

¿Alguna posible interpretación detrás de esta relación? Obtengo la lógica en álgebra pero no puedo descifrar la intuición geométricamente. La pregunta suena vaga porque no tengo mucha intuición detrás de esta relación, así que no uso palabras específicas para formular mi pregunta. Parece ser una coincidencia interesante y quiero saber si hay alguna interpretación no algebraica detrás.

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línea azul que indica el avión. Línea roja que indica el paralelepípedo. Verde que indica el vértice.

Aclare su problema específico o proporcione detalles adicionales para resaltar exactamente lo que necesita. Tal como está escrito actualmente, es difícil decir exactamente lo que está preguntando.
Una cosa que puede notar es que si puede manejar el caso a = b = C = 1 , que parece mentalmente más fácil, obtienes todos los demás casos estirando uniformemente en una dirección a la vez. Estiramiento uniforme del triángulo (multiplicando todos X coordenadas, digamos, por un factor k ) también mueve el centroide en consecuencia, y el estiramiento uniforme de cualquier cuboide aumenta su volumen en consecuencia k -pliegue, por lo que el cuboide máximo se estira en consecuencia.
@Community: No, no es nada difícil saberlo. La pregunta es bastante clara.

Respuestas (1)

Considere el problema más simple de encontrar el volumen máximo de un cuboide inscrito (inscrito de la misma manera que el problema original) en el primer octante del gráfico

X + y + z = 1
Por simetría, uno intuiría la hipótesis de que esto ocurriría cuando el vértice verde del paralelepípedo estuviera en el centro de la cara triangular y el paralelepípedo fuera un cubo. Por supuesto, esto se puede probar con AM-GM ( X y z ≤ ( X + y + z 3 ) 3 = 1 27 ).

Dado que las proporciones de los volúmenes se conservan bajo transformaciones afines, se deduce que si dilatamos el plano para que coincida con la ecuación X a + y b + z C = 1 , entonces el cubo máximo inscrito debería ser equivalente a aplicar esa misma transformación afín al cubo con longitud de lado 1 3 .

Sin embargo, también sabemos que la ubicación del centroide permanecerá preservada después de una transformación afín. Por lo tanto, se sigue que este cubo de volumen máximo también contendrá el centroide como vértice independientemente de la ecuación del plano.

¿Alguna interpretación del hecho de que centroide = punto óptimo para maximizar el volumen de dicho cuboide?
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