Ejemplos explícitos no triviales de parametrización de longitud de arco

Después de un tiempo encontré algunos ejemplos más para agregar a la lista.

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La espiral logarítmica ,

$$\alpha(t) = (e^t\cos t, e^t\sin t)$$ que tiene $\|\alpha'(t)\|=\sqrt{2}\,e^t$y también lo ha hecho la longitud del arco $$s = \int_0^t \|\alpha'(u)\|\,\mathrm{d}u =\int_0^t \sqrt{2}\,e^u \,\mathrm{d}u = \sqrt{2}\,(e^t-1)$$ y entonces $t=\ln\left(\frac{s}{\sqrt{2}}+1\right)$lo que vamos a repararmetrizar la curva como $$\tilde\alpha(s)=\left( \left(\frac{s}{\sqrt{2}}+1\right)\cos\left(\ln\left(\frac{s}{\sqrt{2}}+1\right)\right), \left(\frac{s}{\sqrt{2}}+1\right)\sin\left(\ln\left(\frac{s}{\sqrt{2}}+1\right) \right)\right)$$

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la hélice ,

$$\beta(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$$ que tiene $\|\beta'(t)\| = \sqrt{a^2+b^2}$y también lo ha hecho la longitud del arco $$s = \int_0^t \|\beta'(u)\|\,\mathrm{d}u\int_0^t \sqrt{a^2+b^2}\,\mathrm{d}u = t\sqrt{a^2+b^2}$$ y entonces $t=\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}$lo que vamos a repararmetrizar la curva como $$\tilde{\beta}(s) = \left( a\cos\left(\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}\right), a\sin\left(\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}\right), \frac{bs}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$$

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Una curva en forma de hélice en el interior de un toro plano ,

$$\gamma(t) = (a\cos At, a\sin At, b\cos Bt, b\sin Bt)$$ que tiene $\|\gamma'(t)\|=\sqrt{a^2A^2+b^2B^2}$y también lo ha hecho la longitud del arco $$s = \int_0^t \|\gamma'(u)\|\,\mathrm{d}u\int_0^t \sqrt{a^2A^2+b^2B^2}\,\mathrm{d}u = t\sqrt{a^2A^2+b^2B^2}$$ y entonces $t=\frac{s}{C}$dónde $C = \sqrt{a^2A^2+b^2B^2}$. Esto nos permite repararmetrizar la curva como $$\tilde\gamma(s)=\left( a\cos\frac{As}{C}, a\sin\frac{As}{C},b\cos\frac{Bs}{C},b\sin\frac{Bs}{C}\right)$$

Una buena y simple es la parábola de Neile ,

$$y = \frac{2}{3}ax^{3/2}.$$ uno encuentra $dy/dx = a\sqrt{x}$, por lo que la integral de longitud de arco es $$\int_0^X \sqrt{1+a^2x} \, dx = \frac{2}{3a^2}\left((1+a^2X)^{3/2}-1 \right).$$

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También se puede hacer la parábola ordinaria,

$$x=at^2 \qquad y=2at,$$ que tiene integral de longitud de arco $$\int_0^T 2a\sqrt{1+t^2} \, dt = aT\sqrt{1+T^2} +a \arg\sinh{T},$$ que es casi lo mismo que la caja espiral de Arquímedes. Es probable que esto solo se pueda invertir mediante la reversión de la serie, que solo funcionará hasta una de las singularidades de la derecha.

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Otra simple es la tractriz , que tiene ecuaciones paramétricas

$$x = a(t-\tanh{t}), \qquad y=a\operatorname{sech}{t},$$ y la longitud del arco viene dada por $$\int_0^T a\tanh{t} \, dt = a\log{\cosh{T}},$$ que es fácil de invertir.

Acabo de encontrar uno esta mañana en Área de la superficie desde la curva .

Si$y=\cosh(4x)/4, x\in [-1,1]$, entonces

$$L=\int ds=\int_{-1}^1 \sqrt{1+(y')^2}\ dx=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\sinh^2(4x)}\ dx=\int_{-1}^1 \cosh(4x)\ dx=\frac{\sinh(4)}{2}$$

Aquí hay otro ejemplo, la parábola.$y=1-x^2, x\in [-1,1]$

$$L=\int ds=\int_{-1}^1 \sqrt{1+(y')^2}\ dx=\int_{-1}^1 \sqrt{1+4x^2}\ dx=\sqrt{5}+\frac{\sinh^{-1}(2)}{2}$$

Y aquí hay una forma paramétrica en el plano complejo,

$$z=\cos^3(t)+i\sin^3(t), t\in [0,\pi/2]\\ s=\int|\dot z|dt\\ \dot z=3[-\cos^2(t)\sin(t)+i\sin^2(t)\cos(t)]\\ |\dot z|=\sqrt{9[\cos^4(t)\sin^2(t)+\sin^4(t)\cos^2(t)]}=3\cos(t)\sin(t)$$

Entonces

$$s=3\int_0^{\pi/2} \cos(t)\sin(t)\ dt=\frac{3}{2}$$