¿Alguna buena interpretación de diferenciar j(j+1)j(j+1)j(j+1) para obtener 2j+12j+12j+1?

Si j es una variable continua, entonces derivando la función F ( j ) = j ( j + 1 ) con respecto a j da F ′ ( j ) = 2 j + 1 . Por supuesto, he elegido la letra para evocar el momento angular de la mecánica cuántica, en cuyo caso para valores enteros o semienteros de j podemos interpretar estas dos expresiones como el valor propio del momento angular al cuadrado y la multiplicidad del momento angular.

¿Hay alguna buena interpretación de esto? Mientras miraba la lista generada automáticamente de "Preguntas que ya pueden tener su respuesta", encontré un comentario que hace exactamente la misma pregunta.

Una razón para creer que no tiene una interpretación muy especial es que como la variable real es discreta, la derivada F ′ realmente representaría una aproximación a una diferencia dividida, y la diferencia relevante para un cambio de unidad en j no necesariamente es igual a la derivada a menos que evalúes la derivada en el lugar correcto.

Me parece que hay una segunda razón para no esperar nada especial aquí, y es que la correspondencia no parece funcionar excepto en tres dimensiones. Para un rotor en d dimensiones, el valor propio del operador de momento angular al cuadrado es j ( j + d − 2 ) . No se que es la multiplicidad de estados en general, pero supongo que es un polinomio de orden d − 2 . por ejemplo, para d = 2 , la multiplicidad es 2 ( metro = ± j ), que no es igual a la derivada de j ( j + d − 2 ) = j 2 . Por otro lado, supongo que es posible que haya una buena interpretación, y la buena interpretación nos dice que hay algo especial en las tres dimensiones.

Relacionado: Lo que se sabe sobre el átomo de hidrógeno en d dimensiones espaciales?

1) Por si te sirve: la multiplicidad en norte dimensiones angulares (de modo que para nuestro mundo 3D, norte = 2 ) es dado por ( j + norte − 2 ) ! j ! ( norte − 1 ) ! ( 2 j + norte − 1 ) . En general, este es un polinomio en j de orden norte − 1 . 2) Una posible interpretación puede provenir del conjunto microcanónico (p. ej., para un rotor rígido, donde la multiplicidad anterior es el número de microestados Ω , cuya derivada es la densidad de microestados).
Estoy 99% seguro de que esto es solo una coincidencia.
@AccidentalFourierTransform: la multiplicidad anterior es el número de microestados Ω, cuya derivada es la densidad de microestados Tienes una función y su derivada. ¿La función de la que estás hablando no es diferenciar la multiplicidad, mientras que en el tema de esta pregunta la multiplicidad es lo que obtienes después de la diferenciación? O tal vez simplemente no te estoy entendiendo.

Respuestas (1)

El número de armónicos esféricos de peso. ℓ en S d es dado por

norte ( d , ℓ ) = d + 2 ℓ − 1 d − 1 ( d + ℓ − 2 ℓ )
Además, el valor propio de este armónico esférico es − Δ ( d , ℓ ) = ℓ ( ℓ + d − 1 ) .

En particular, tenga en cuenta que para d = 2 (que es el caso a considerar para momentos angulares tridimensionales, encontramos

norte ( 2 , ℓ ) = 2 ℓ + 1   , − Δ ( 2 , ℓ ) = ℓ ( ℓ + 1 )   .
En este caso especial, es cierto que − ∂ ℓ Δ ( 2 , ℓ ) = norte ( 2 , ℓ ) como has observado. Observé la siguiente generalización a dimensiones superiores, d ≥ 3 ,
∂ ℓ d − 3 norte ( d , ℓ ) = − Δ ( d , ℓ ) + d 2 4 − 7 d 12 + 1 2   .
Sin embargo, no veo ningún bien inmueble de interés. Creo que la fórmula es pura coincidencia.

PD: ¡Este es un caso en el que me encantaría estar equivocado!

Esto me parece una reformulación del argumento que hice en el cuarto párrafo de la pregunta. Hay algunos detalles agregados, pero la mayoría de esos detalles agregados ya se resolvieron en el comentario de AccidentalFourierTransform. La razón por la que publiqué esto como una pregunta y ofrecí una recompensa fue que esperaba que alguien pudiera abordar esto desde un ángulo diferente.
Quizás también interesante: si usamos una diferencia finita en lugar de una derivada, tenemos Δ ℓ d norte = 0 , Δ ℓ d − 1 norte = 2 , Δ ℓ d − 2 norte = 2 d + 2 ℓ − 3 , Δ ℓ d − 3 norte = ( d + ℓ − 2 ) 2 , etc.
¿Alguna buena interpretación de diferenciar j(j+1)j(j+1)j(j+1) para obtener 2j+12j+12j+1?
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