En un universo con cuatro dimensiones espaciales, ¿habría partículas elementales con espín isoclínico intrínseco?

Un bosquejo de cómo surge el espín en la física de partículas.

Hay un teorema en mecánica cuántica, llamado teorema de Coleman-Mandula , que te dice que bajo suposiciones muy razonables, el grupo más general de simetrías de una teoría cuántica es el producto directo del grupo de Poincaré y un grupo de Lie compacto y conexo (llamado el grupo de simetrías internas ).

Como suele ser el caso, podemos organizar el espectro de la teoría en términos de representaciones irreducibles del grupo de simetría. Al ser un producto directo, podemos hablar de Poincaré y las simetrías internas por separado. Este último da lugar a números cuánticos de "carga", como isospin , color , etc., que son los valores propios de un toro máximo del grupo interno.

La primera es la parte más interesante. El grupo Poincaré es un producto semidirecto del grupo Lorentz y el grupo de traducciones (ver esta publicación de PSE para más detalles ). Se puede obtener una clasificación completa de sus representaciones ( proyectivas , unitarias ) mediante el método de representaciones inducidas de Frobenius-Wigner . Este método procede de la siguiente manera:

1. Primero diagonalizamos el subgrupo normal ; siendo abelian , solo presentamos$d$parámetros reales arbitrarios, lo que lleva a lo que solemos llamar el impulso $p=(p_0,p_1,\dots,p_{d-1})\in\mathbb R^{1,d-1}$.

2. A continuación nos separamos$\mathbb R^{1,d-1}$en múltiples donde$\mathrm{SO}(1,d-1)$actúa transitivamente . Es decir, identificamos todas las órbitas no equivalentes de momentos bajo el grupo de Lorentz: estos son estados de vacío$p\equiv 0$; estados masivos$p^2>0$; estados sin masa$p^2\equiv0$; y estados taquiónicos$p^2<0$.

3. Elegimos un representante para cada clase. A partir de ahora, nos centraremos únicamente en los estados masivos. Un representante de estos estados es$p=(\sqrt{p^2},0,\dots,0)$. El pequeño grupo (de Wigner) de tal representante se define como el subgrupo del grupo de Lorentz que lo deja invariable:$W\equiv\{R\in\mathrm{SO}(1,d-1)\,\mid\, Rp=p\}$, que se ve fácilmente como el grupo de rotaciones ,$W\cong \mathrm{SO}(d-1)$.

4. Elija una representación arbitraria (unitaria, proyectiva) del pequeño grupo,$\lambda\in\mathrm{Rep}(W)$. Aquí tenemos la suerte de que el grupo ortogonal es simple ; de lo contrario, debemos volver al paso 1 e inducir una representación de$W$de su subgrupo normal. (Esto es precisamente lo que sucede con las órbitas sin masa ¹ ).

5. La representación de Poincaré finalmente la da la pareja$(p,\lambda)$. Aquí,$p=(p_0,p_1,\dots,p_{d-1})$es un arbitrario$d$-tupla de números reales, y$\lambda$es una representación proyectiva unitaria de dimensión finita del pequeño grupo de$p$, a saber, el grupo ortogonal$\mathrm{SO}(d-1)$.

En$d=3+1$, el grupito es$\mathrm{SO}(3)$; sus representaciones proyectivas son las representaciones estándar de su cobertura universal,$\mathrm{SU}(2)$. Las representaciones de este último son bien conocidas en física: están etiquetadas por un medio entero$j$, llamado giro . Por lo tanto, los estados de una teoría cuántica relativista en$d=3+1$las dimensiones están etiquetadas con los siguientes números: cuatro momentos, espín, cargas internas. Esto se relaciona muy bien con nuestra intuición/experiencia.

En$d\ge4+1$, el grupito es$\mathrm{SO}(d-1)$; sus representaciones proyectivas son las representaciones estándar ² de su cobertura universal ,$\mathrm{Spin}(d-1)$. Las representaciones de este último no son tan comunes como las de$\mathrm{SU}(2)$en física. Afirmamos sin prueba que las representaciones de este grupo están en correspondencia uno a uno con los llamados pesos más altos del álgebra (cf. representaciones de peso más alto ). Estos pueden ser etiquetados por$r=\mathrm{rank}(\mathfrak{so}(d-1))=\lfloor(d-1)/2\rfloor$enteros$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_r$, conocidas como las etiquetas de Dynkin de la representación (que se definen como el coeficiente de mayor peso en base a pesos fundamentales, siendo estos la base dual a la de raíces simples ). Para$d=3+1$, tenemos una sola etiqueta, que identificamos con el giro,$\lambda_1=2j$. Para$d\ge4+1$, tenemos varias etiquetas, por lo que no tiene sentido hablar del espín de una partícula (más bien tendríamos que hablar de su número cuántico de espín s ; pero esto no sería muy exacto, porque el$\lambda_i$no son valores propios de un Casimir , a diferencia del$d=3+1$caso).

por ejemplo, en$d=4+1$, tenemos dos números cuánticos de "pequeño grupo",$\lambda_1,\lambda_2$. En términos semiclásicos, describen los posibles estados de rotación en$d=4$dimensiones espaciales, como en el OP. En términos cuánticos, no es útil considerar esto como una rotación de buena fe, pero las etiquetas aún describen cómo se comporta la partícula bajo la acción de$\mathrm{SO}(4)$, es decir, bajo rotaciones espaciales. Después de todo, esto es mecánica cuántica, por lo que los conceptos clásicos no tienen una traducción perfecta, pero están ahí hasta cierto punto.

Finalmente, cabe mencionar que$\mathrm{Spin}(d-1)$tiene un centro no trivial . En particular, siempre hay un$\mathbb Z_2\subseteq Z(\mathrm{Spin}(d-1))$subgrupo, cuyo cociente nos devuelve al$\mathrm{SO}(d-1)$grupo:

La transformación de un estado bajo este$\mathbb Z_2$subgrupo nos dice si desciende a una verdadera representación de$\mathrm{SO}(d-1)$, oa una representación proyectiva. En otras palabras, nos dice si es un bosón o un fermión. En términos de las etiquetas de Dynkin, si$d$es par, el estado es un bosón si$\lambda_r$es par, y un fermión si es impar; y si$d$es impar, el estado es un bosón si$\lambda_{r}+\lambda_{r-1}$es par, y un fermión si es impar. (Compare esto con$\lambda_1=2j$en el$d=3+1$caso). Por lo tanto, hasta cierto punto, las dos últimas etiquetas de Dynkin diferencian bosones y fermiones; juegan el papel de$j\ \mathrm{mod}\ 2\mathbb Z$en$d\ge4+1$.

^{1: El pequeño grupo de un estado sin masa es el llamado grupo euclidiano $\mathrm{ISO}(d-2):=\mathrm{SO}(d-2)\ltimes \mathbb R^{d-2}$, que es claramente no simple. Por tanto, sus representaciones pueden ser inducidas a partir de una representación de su subgrupo normal.$\mathbb R^{d-2}$. Una representación no trivial de este grupo conduce a una representación de dimensión infinita de$\mathrm{ISO}(d-2)$, que se denomina representación de espín infinito (o continuo) . Se ha demostrado que estos son patológicos (p. ej., violan la causalidad, cf. Abbott ). Por lo tanto, debemos restringirnos a representaciones triviales de$\mathbb R^{d-2}$, cuyo grupito es$\mathrm{SO}(d-2)$mismo, que es simple. Sus representaciones (unitarias, proyectivas) inducen una representación del grupo de Poincaré conocida como representaciones de helicidad , que describen partículas sin masa, como el fotón.}

^{2: Como se mencionó antes, el grupo ortogonal es simple, y por lo tanto su álgebra no tiene extensiones centrales no triviales ; así, las representaciones proyectivas son puramente de origen topológico, cf.$\pi_1(\mathrm{SO}(n))=\mathbb Z_2$.}

En términos de teoría de grupos, las rotaciones isoclínicas en 4 dimensiones espaciales se describen mediante el grupo de simetría, SO(4). Es un grupo que se puede representar mediante matrices ortogonales de 4x4 con determinantes unitarios.

Este grupo tiene dos subgrupos de rotaciones isoclínicas izquierda y derecha, respectivamente. Cada uno de ellos es isomorfo a 3 esferas,$S^3$, que tiene un grupo isomorfo a SU(2), es decir, espín clásico. Por supuesto, la rotación isoclínica a la derecha y la rotación isoclínica a la izquierda serían como la rotación a la izquierda y la rotación a la derecha en el subespacio 3D.

Sin embargo, dado que está preguntando sobre el giro intrínseco, por lo que puedo decir, esta propiedad no significa que las partículas elementales se comportarían como si y solo si estuvieran en una rotación isoclínica. De hecho, en el subespacio tridimensional todavía se comportarían como si estuvieran en rotación simple. Esto podría deberse a la proyección de una rotación isoclínica o una doble rotación genérica, tal vez debido a que el giro intrínseco tenía una simetría diferente a la de SU (2), o simplemente una buena rotación simple (similar a la proyección de rotación 3D en un plano 2D ) debido a la simetría SU(2) intrínseca tal como la conocemos. Porque$S^3_L \times S^3_R$no es isomorfo a SO(4).