Al sacar 14 cartas de un conjunto de 52 cartas, ¿es más probable tener un full o dos parejas consecutivas?

Este problema te está rogando que le apliques la inclusión-exclusión . No estoy seguro de si eso califica como lo que tenía en mente como "una forma mucho más simple de ver esto", pero es una forma bastante sistemática, y eso es bastante necesario para su esfuerzo.

Haré el cálculo para dos pares consecutivos y luego veré si te apetece hacer el de la casa completa tú mismo después de estar equipado con las herramientas necesarias, o si quieres que lo haga yo también.

Podemos hacer esto en dos etapas. Primero voy a determinar el número$a_k$de formas de robar al menos dos cartas de cada una de$k$rangos particulares; y luego usaré esos números para calcular las probabilidades que desea usar de inclusión-exclusión.

El calculo de la$a_k$procede más o menos como usted lo describió para dos pares consecutivos, excepto que para el cálculo de inclusión-exclusión necesitaremos todos los$a_k$hasta$k=7$, No solo$a_2$. (Más allá de$k=7$, son cero porque obviamente es imposible tener al menos dos cartas en cada uno de más de$7$rangos si dibujas$14$tarjetas.)

El siguiente hecho es muy útil para nosotros en este punto: un coeficiente binomial es cero si el índice superior es positivo y el índice inferior es negativo. Eso significa que podemos escribir

$$a_k=\sum_{i_1=2}^4\cdots\sum_{i_k=2}^4\binom4{i_1}\cdots\binom4{i_k}\binom{52-4k}{14-i_1-\cdots-i_k}$$

sin preocuparse por el hecho de que no es posible, por ejemplo, dibujar$4$cartas de cada uno$4$rangos al dibujar$14$tarjetas: el coeficiente más a la derecha tiene un índice inferior negativo en tales casos y, por lo tanto, es cero.

Este es, por supuesto, un cálculo que no nos gustaría realizar a mano, pero a nuestros amigos electrónicos de Sage no les importa hacerlo por nosotros.

Aquí está el código Sage (esencialmente Python) para el cálculo de la$a_k$:

i,j,k,l,m,n,r = var ('i,j,k,l,m,n,r')
a = [0] * 15
a [2] = sum (binomial (4,j) * sum (binomial (4,i) * binomial (44,14-i-j),i,2,4),j,2,4)
a [3] = sum (binomial (4,k) * sum (binomial (4,j) * sum (binomial (4,i) * binomial (40,14-i-j-k),i,2,4),j,2,4),k,2,4)
a [4] = sum (binomial (4,l) * sum (binomial (4,k) * sum (binomial (4,j) * sum (binomial (4,i) * binomial (36,14-i-j-k-l),i,2,4),j,2,4),k,2,4),l,2,4)
a [5] = sum (binomial (4,m) * sum (binomial (4,l) * sum (binomial (4,k) * sum (binomial (4,j) * sum (binomial (4,i) * binomial (32,14-i-j-k-l-m),i,2,4),j,2,4),k,2,4),l,2,4),m,2,4)
a [6] = sum (binomial (4,n) * sum (binomial (4,m) * sum (binomial (4,l) * sum (binomial (4,k) * sum (binomial (4,j) * sum (binomial (4,i) * binomial (28,14-i-j-k-l-m-n),i,2,4),j,2,4),k,2,4),l,2,4),m,2,4),n,2,4)
a [7] = sum (binomial (4,r) * sum (binomial (4,n) * sum (binomial (4,m) * sum (binomial (4,l) * sum (binomial (4,k) * sum (binomial (4,j) * sum (binomial (4,i) * binomial (24,14-i-j-k-l-m-n-r),i,2,4),j,2,4),k,2,4),l,2,4),m,2,4),n,2,4),r,2,4)
print(a)

Y aquí están los resultados:

$$\begin{array}{r|r} k&a_k\\\hline 2&128630045544\\ 3&26328445104\\ 4&4106040168\\ 5&429861360\\ 6&23219136\\ 7&279936 \end{array}$$

Podemos comprobarlos observando que deberíamos tener$a_7=\binom42^7=6^7$, que comprueba.

Para el cálculo de inclusión-exclusión, tenemos$12$condiciones de tener al menos dos cartas en dos rangos consecutivos particulares (ya que hay$12$pares de rangos consecutivos), y queremos contar las manos que cumplen al menos una de estas condiciones.

Así que considera cómo elegir$j$de estas condiciones. pueden formar$m$corridas superpuestas (con$1\le m\le j$), y luego cubren$j+m$diferentes rangos, que se pueden elegir en$\binom{j-1}{m-1}\binom{13-j}m$maneras (ya que podemos distribuir el$j$condiciones sobre el$m$carreras no vacías en$\binom{j-1}{m-1}$formas (ver estrellas y barras ) y luego elegimos$m$posiciones para las carreras entre los$m$corre y el$13-(j+m)$rangos restantes). Entonces nuestro conteo es

$$\sum_{j=1}^6(-1)^{j+1}\sum_{m=1}^j\binom{j-1}{m-1}\binom{13-j}ma_{j+m}\;.$$

Aquí está el código Sage correspondiente:

    print(sum((-1)**(j+1) * binomial (j-1,m-1) * binomial (13-j,m) * a [j + m] for j in range(1,7) for m in range(1,j+1)))

El resultado es$1104417845112$. Aquí está el código Java que confirma el resultado por enumeración. Por lo tanto, la probabilidad de que$14$-carta a mano extraída de un estándar$52$-La baraja de cartas que contiene al menos un par de pares consecutivos es

$$\frac{1104417845112}{\binom{52}{14}}=\frac{46017410213}{73706931025}\approx62.433\%\;.$$