Transformación de Lorentz de la velocidad

En un sistema de referencia$\Sigma$una partícula tiene velocidad$\vec{v} = v \hat{z}$. ¿Cuál es la velocidad de la partícula en un sistema?$\Sigma'$moviéndose con velocidad$\vec{u} = u \hat{z}$relativo a$\Sigma$?

Uno toma el 4-vector$v^\mu = \gamma(1,\vec{v}/c) = \gamma(1,0,0,v/c)$y Lorentz lo transforma de acuerdo a:

$$v^{\mu '} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & - \beta \gamma \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - \beta \gamma & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma \\ 0 \\ 0 \\ \gamma v /c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \gamma^2 (-\beta + v / c ) \end{pmatrix} \cong \begin{pmatrix} \gamma \\ 0 \\ 0 \\ \gamma v' /c \end{pmatrix}$$

y por lo tanto$v' = \gamma (-u + v).$

Sin embargo, la fórmula conocida para las transformaciones de velocidad relativistas establece:

$$v' = \frac{v + u}{1 + \frac{v u }{c^2}},$$

que no es lo mismo que el anterior. ¿Dónde cometí un error?