Al calcular el interés mensual, ¿por qué dividimos el interés anual por 12, en lugar de sacar la raíz doceava?

He estado leyendo sobre préstamos y tasas de interés, y me he topado con un escollo matemático. El quid es que, si el saldo pendiente de mi préstamo es de 100 000 £, no realizo ningún pago y tiene un interés anual del 8 %, espero que el saldo pendiente después de un año sea de 108 000 £.

Sitios como Investopedia dan ejemplos como los siguientes:

El interés de una hipoteca se capitaliza o se aplica mensualmente. Si la tasa de interés anual de esa hipoteca es del 8 %, la tasa de interés periódica utilizada para calcular el interés tasado en un solo mes es 0,08 dividido por 12, lo que da como resultado 0,0067 o 0,67 %.

Sin embargo, este ejemplo no respalda mi intuición. Si el saldo aumenta un 0,67 % al mes y no realizo pagos, después de un año tendré un saldo pendiente de 100 000 £ * (1 + 0,08/12)^12, que es alrededor de 108 300 £. El interés anual real está más cerca del 8,3%, que es algo superior al 8%.

Si quisiéramos la tasa de interés mensual que haría que el interés anual fuera realmente del 8%, entonces deberíamos calcular la raíz 12 de 1,08; el interés mensual debería rondar el 0,643%.

Busqué respuestas a esta discrepancia: una publicación de maths.stackexchange aclara cómo funciona la tasa de interés, pero la raíz de mi pregunta es por qué la tasa de interés funciona así. Si es cierto que un 8% de interés anual en realidad significa que el saldo de un préstamo aumenta un 8,3% anual, ¿de qué sirve el número 8% aquí?

La terminología depende del país en el que te encuentres, pero básicamente es esta: investopedia.com/terms/a/…
"Si es cierto que un 8% de interés anual en realidad significa que el saldo de un préstamo aumenta un 8,3% anual, ¿de qué sirve el número 8% aquí?" Suena como una tasa mejor de lo que realmente es, por lo que es probable que el prestamista obtenga más negocios.
@Paul Parece que su respuesta a esto es "los prestamistas pueden cotizar debido a leyes laxas, por lo que citan el número que los hace lucir mejor". Estoy contento con eso como respuesta, pero ¿podría publicarlo como respuesta para que pueda votarlo y aceptarlo?
Reserva Federal de EE. UU. R1314: "La 'Ley de Veracidad en los Préstamos' aprobada en 1968 no incorporó la tasa de porcentaje anual matemáticamente verdadera, porque el cálculo verdadero usaba capitalización (a veces capitalización de fracciones), que no estaba fácilmente disponible". -dinero.stackexchange.com/a/124507/11768 _
@ChrisDegnen, no compro eso. ¿Me estás diciendo que las raíces 12 no eran calculables en 1968? Yo no estaba vivo en ese momento, pero las tablas de registro con una precisión de 14 decimales ya existían en 1617, lo que significa que las raíces doce podrían haberse calculado como 10^(log(x) / 12). ¿A qué cálculo se refieren específicamente allí?
@ymbirtt: No todo el mundo tenía acceso a esas tablas logarítmicas de 14 posiciones, o podía usarlas fácilmente, pero la mayoría de la gente puede dividir entre 12. La regla de dividir entre 12 también es mucho más simple y aplicable a situaciones típicas, ya que la gran mayoría de los préstamos se pagan en cuotas mensuales.
Las hipotecas son generalmente de interés simple, por lo que su cotización de investopedia no es directamente relevante para su pregunta.

Respuestas (3)

En los Estados Unidos, esta es la diferencia entre APR y APY. APR es típicamente la tasa de porcentaje anual sin tener en cuenta la capitalización, por lo que en su ejemplo, 8%. Si el préstamo le cotiza una APR del 8%, entonces el interés real que se acumulará en el transcurso de un año será potencialmente diferente, dependiendo de la frecuencia con la que se capitalice el préstamo. Ese es el 8,3% que calculaste.

APY es el porcentaje de rendimiento anual, que tiene en efecto la capitalización. Este es, de nuevo, el 8,3 % que calculó con una APR del 8 % y capitalización mensual. Si el préstamo cotiza un APY del 8 %, entonces ese 8 % tiene efecto compuesto y tendría un APR del 7,72 % (12 veces el 0,643 % que calculó).

Un préstamo puede especificar APR o APY, por lo que es donde debe leer la letra pequeña para saber si la tasa de interés que le están cotizando incluye capitalización o no.

Gracias por la respuesta: saber que hay diferentes nombres para los dos cálculos es ciertamente útil, pero no puedo aceptarlo ya que esto realmente no llega al corazón de mi pregunta. Espero entender por qué APR podría ser una cifra útil para cotizar. Por lo que puedo decir, lo único útil que yo o un banco podemos hacer con APR es convertirlo en APY. ¿Conoce un caso de uso común para APR que no implique simplemente calcular APY?
Siempre debe usar APY para calcular los ingresos/gastos por intereses, y cuando compare dos préstamos o inversiones, siempre debe hacer esa comparación sobre la base de APY. En ciertos contextos, las tasas de interés se cotizan como APR (p. ej., la mayoría de los términos de las tarjetas de crédito). En tales contextos, es tarea del prestatario calcular el APY para determinar el costo real del préstamo. Si le dan un APY, rara vez hay necesidad de calcular APR.

La convención de mercado es solo una tradición, y depende del país. En los EE. UU. y en la mayoría de los demás países, si un bono o un préstamo paga el 6 % anual con una frecuencia semestral, significa que cada cupón es exactamente 6/2 = 3 %. (O tal vez los días contados hasta casi exactamente el 3%). Pero en Brasil, por ejemplo, el 6% anual semestralmente significa que cada cupón es (1+6%)^(1/2)-1=2.956301% (ver, por ejemplo, https://sisweb.tesouro.gov.br/apex/f?p=2501:9::::9:P9_ID_PUBLICACAO:27710 , página 8). Claramente, una fracción 1/frecuencia es más fácil que la raíz enésima de frecuencia, lo que puede ser la razón por la cual la convención anterior se ha adoptado más ampliamente, pero no universalmente.

Gracias por la respuesta: parece que está diciendo que esta diferencia entre APR y APY existe como una tradición, lo que supongo que puedo aceptar, pero no es totalmente satisfactorio. Aunque no estoy seguro de seguir tu argumento. ¿Está diciendo, entonces, que las instituciones a través de las fronteras a veces acuerdan tasas de interés particulares y cronogramas de capitalización, pero algunas favorecen un número más simple por compuesto, así que elija un método que les dé un número simple y acepte que estarán fuera por unos pocos? dólares/real en comparación con la otra institución?

Los intereses sobre préstamos, bonos y otros instrumentos financieros generalmente se cotizan como una cifra no compuesta anualizada. Por lo tanto, un préstamo con una tasa cotizada del 8 % que se cobra mensualmente tendrá una tasa mensual del 8 %/12 o 0,6667 %. Algunos otros "préstamos" (como las tarjetas de crédito) calculan una tasa de interés diaria que se utiliza para calcular el interés en función del saldo diario promedio. El préstamo no se capitaliza diariamente, pero la cantidad de interés cobrada se calcula tomando la tasa anual dividida por 365 (o 360, o 366 dependiendo de los términos del préstamo y cuántos días hay en el año). Las tasas de interés de los bonos también se cotizan de esa manera, aunque el interés se paga cada 3 o 6 meses.

La tasa efectiva se encuentra tomando la tasa periódica y anualizándola al capitalizarla utilizando el período de capitalización (por ejemplo, mensual). Por lo tanto, un préstamo con una tasa mensual del 0,66667 %, después de capitalizar durante 12 meses, tendrá una tasa efectiva de (1.00666667 ^ 12) - 1, o alrededor del 8,3 %, lo que significa que su préstamo de 100 000 tendrá un saldo de 108 300 después de un año si no se realizan pagos (más cualquier pago atrasado). honorarios, por supuesto).

La razón por la que los bancos cotizan las tasas de esta manera es para que los diferentes tipos de préstamos sean comparables. No todos los préstamos se capitalizan mensualmente (los bonos pueden capitalizarse cada 3 o 6 meses) y permite más números redondos de lo que sería práctico con una tasa mensual.

Como no estadounidense, esta es otra de esas cosas que simplemente no tienen sentido. ¿Entonces los bancos pueden anunciar una tasa que es más baja que la tasa real que se le cobrará? Loco
@Jon. Esto no es una cosa de América. Esta es una cosa de la mayoría del mundo. Además, como ya dice esta respuesta, esto también es una cuestión de simplicidad, no solo una cuestión de publicidad.
@Jon: No, la tarifa anunciada es la tarifa que se le cobrará si realiza los pagos. Si permite que el interés se agregue al principal, por supuesto que paga más. Por ejemplo, si tomo un préstamo de $100 000 al 3 % y hago pagos mensuales, entonces el primer mes pagaré $100 000 * 3 %/12, o $250. Pero también habré pagado algo de capital, por lo que el próximo mes mi interés será un poco menor, ya que se cobra solo sobre el saldo pendiente.
Entiendo su punto de que diferentes productos se capitalizan a diferentes tasas por varias razones: ¡una tarjeta de crédito que capitaliza el interés cada seis meses obviamente no es muy buena para el banco! Sin embargo, no veo cómo esta forma de cotizar las tasas hace que los préstamos sean más "comparables". ¿Podrías aclarar eso? Si veo que un banco ofrece un 8 % de interés y otro ofrece un 8,1 % de interés, el 8 % parece más atractivo. Sin embargo, si el préstamo del 8 % se capitaliza cada mes mientras que el 8,1 % se capitaliza cada 6, entonces el APY del préstamo del 8 % es 8,30 % y el APY del 8,1 % es 8,26 %; el uso de APR aquí ha hecho que los productos sean menos comparables
Hablaba más de anualizar el interés multiplicando por la periodicidad: un préstamo del 1,15 % que se factura mensualmente y un bono del 7 % que paga cada 6 meses no son directamente comparables sin un poco de aritmética. No son matemáticas difíciles, pero normalizar todo a 12- meses se deshace de él sin ambigüedad. Y la mayoría de la gente no comprende las sutilezas del rendimiento lo suficiente como para comprender las tasas de bonos compuestas. Entonces, el interés simple simplemente hace las cosas, bueno, más simples.
Al calcular el interés mensual, ¿por qué dividimos el interés anual por 12, en lugar de sacar la raíz doceava?
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