¿Cómo determinar la longitud del arco de la elipse?

Dejar$a=3.05,\ b=2.23.$Entonces una ecuación paramétrica para la elipse es$x=a\cos t,\ y=b \sin t.$Cuando$t=0$el punto esta en$(a,0)=(3.05,0)$, el punto inicial del arco en la elipse cuya longitud busca. Ahora es importante darse cuenta de que el parámetro$t$no es el ángulo central, entonces necesitas obtener el valor de$t$que corresponde al extremo superior de su arco. En ese extremo tienes$y/x=\tan 50$(grados). Y en términos de$t$tienes$y/x=(b/a)\tan t$. Resolviendo para$t$luego da

[nota: sugiero usar radianes aquí, reemplazando el$50$por$5\pi/18.$]

Para la longitud de arco use la fórmula general de integración$\sqrt{x'^2+y'^2}$para$t$en el rango deseado. En tu caso$x'=-a \sin t,\ y'=b \cos t$, para que vayas integrando

* Cuando hice esto numéricamente en arce obtuve aproximadamente$2.531419$para la longitud de arco.

Puedes calcular esto como

usando la integral elíptica incompleta del segundo tipo $E(\varphi\,|\,m)$. En Mathematica-Syntax (y adecuado para Wolfram Alpha ) esto se puede escribir como

2.23*EllipticE[ArcTan[3.05/2.23*Tan[50°]],1-(3.05/2.23)^2]

Adapté esto de esta publicación que investiga el problema inverso (dada la longitud del arco, encuentra el ángulo) pero en el camino también trata esta dirección del problema. Como se indica allí, esta conversión de ángulo solo funcionará para el primer y último cuadrante. De lo contrario, ajuste el ángulo o busque en esa publicación una fórmula alternativa para usar en su lugar.

Con unos pocos dígitos más de precisión, la respuesta se devuelve como$2.5314195265536624417$que esencialmente coincide con las otras respuestas aquí. Por supuesto, imprimir tantos dígitos en la respuesta es de muy mal estilo si la entrada solo se da con dos decimales. Muestra que la integración numérica de Jyrki es un poco menos precisa que lo que hizo CoffeeMath, pero incluso él debería haber redondeado teóricamente en la otra dirección.

Tenga en cuenta que la fórmula anterior solo funciona para$-\frac\pi2<\theta<\frac\pi2$. Para$\frac\pi2<\theta<\pi$el resultado de$\tan^{-1}$representará$\theta-\pi$así que para corregir eso puedes agregar$\pi$a ese resultado. similares para$-\pi<\theta<-\frac\pi2$donde tienes que restar$\pi$desde el$\tan^{-1}$resultado. En términos generales, desea que la primera entrada al$E$función de ser un ángulo en el mismo cuadrante que$\theta$, sumando múltiplos enteros de$\pi$según sea necesario.

Dando un cálculo de Mathematica. Mismo resultado que coffeemath (+1)

In[1]:= ArcTan[3.05*Tan[5Pi/18]/2.23]
Out[1]= 1.02051
In[2]:= x=3.05 Cos[t];
In[3]:= y=2.23 Sin[t];
In[4]:= NIntegrate[Sqrt[D[x,t]^2+D[y,t]^2],{t,0,1.02051}]
Out[4]= 2.53143

Creo que encontré esta aproximación asintótica de la integral elíptica de segundo tipo de Jacobi hace algún tiempo. No es preciso, pero converge exactamente para casos degenerados de$b=0$(líneas) y$b=a$(círculos). Los métodos de series infinitas son ideales donde se desea precisión. Ofrezco esto sólo como una curiosidad. El último término, agregado recientemente, aporta poco, pero asegura la convergencia de los círculos. Asumir$0\le b\le a$. Entonces