Integre la circunferencia de una elipse para encontrar el área

Question

Integre la circunferencia de una elipse para encontrar el área

Adán Kiddle

Para un círculo de radio R, se puede encontrar el área integrando la ecuación de la circunferencia en el intervalo $(0, R)$ ,

Área = \int_{0}^{R} 2 π r d r = π R^{2}

$\text{Area} = \int^R_0 2\pi r\ dr = \pi R^2$

Mi intuición para esto es que estamos haciendo una suma continua sobre todos los círculos con radio en el rango $(0, R)$ , esta familia de círculos llena todo el espacio y nos da el área.

¿Hay alguna manera de hacer esto para una elipse?

La circunferencia de una elipse con semi-mayor $a$ y semi-menor $b$ es:

Circunferencia = 4 \int_{0}^{π / 2} \sqrt{a^{2} {porque}^{2} (θ) + b^{2} {pecado}^{2} (θ)} d θ

$\text{Circumference} = 4\int^{\pi/2}_0 \sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2\sin^2(\theta)}\ d\theta$

Traté de considerar una elipse con eje semi-mayor $A$ y semi-menor $B$ y una familia de elipses con semi-mayor $At$ y semi-menor $Bt$ tal que podemos escalar la elipse por un factor $t$ .

Luego consideré que la colección de elipses que necesitamos para "llenar" nuestra área son aquellas donde $t$ está en el intervalo $(0,1)$ . Teniendo en cuenta esto, intenté integrar durante este intervalo:

Área \overset{?}{=} 4 \int_{0}^{1} \int_{0}^{π / 2} \sqrt{A^{2} t^{2} {porque}^{2} (θ) + B^{2} t^{2} {pecado}^{2} (θ)} d θ d t

$\text{Area} \stackrel{?}{=} 4\int^1_0\int^{\pi/2}_0 \sqrt{A^2t^2 \cos^2(\theta) + B^2t^2\sin^2(\theta)}\ d\theta\ dt$

Sin embargo, estoy bastante seguro de que esto no es correcto (el área de la elipse debe ser $\pi AB$ ).

Creo que entiendo por qué no funciona. Cuando escala un círculo, el espacio entre cualquier punto antes y después de la escala es el mismo para todos los puntos. Las elipses no hacen eso, y creo que es por eso que mi intuición de "relleno" aquí necesita algo extra.

Mi geometría diferencial está un poco oxidada, pero creo que debería haber una manera de hacer que esto funcione utilizando el elemento correcto para la integración. No estoy seguro de cómo llegar allí.

david k

Un truco es escalar su función de distancia de manera diferente en la dirección del eje mayor que en la dirección del eje menor, haciendo que todos los puntos de la elipse estén a la misma "distancia" del centro. Esto tiene el efecto de uniformar la distancia entre dos elipses concéntricas. Esto también cambia la fórmula para la longitud de la circunferencia. O podría obtener exactamente el mismo efecto proyectando la elipse en un círculo como en la respuesta de Quanto.

Respuestas (2)

Integre la circunferencia de una elipse para encontrar el área

Un truco es escalar su función de distancia de manera diferente en la dirección del eje mayor que en la dirección del eje menor, haciendo que todos los puntos de la elipse estén a la misma "distancia" del centro. Esto tiene el efecto de uniformar la distancia entre dos elipses concéntricas. Esto también cambia la fórmula para la longitud de la circunferencia. O podría obtener exactamente el mismo efecto proyectando la elipse en un círculo como en la respuesta de Quanto.

cuanto · Answer 1

Observe que una elipse, con eje menor $a$ y eje mayor $b$ , se puede ver como la parte del plano $z=y\tan\beta$ dentro del cilindro $x^2+y^2=a^2$ , dónde $\beta$ es el ángulo que forma con el $xy$ -plano, satisfactorio $\cos\beta = a/b$ .

Ahora bien, podríamos considerar que la elipse está formada por muchos anillos de elipse que, al ser proyectados sobre la $xy$ -plano, se convierten en círculos correspondientes. Esos círculos se pueden integrar fácilmente.

La integral de superficie para la elipse viene dada por

S = \int_{0}^{a} \int_{0}^{2 π} F (r, θ) r d r d θ

$S=\int_0^a \int_0^{2\pi} f(r,\theta) rdr d\theta$

donde la proyección, o el factor de escala, es en realidad bastante simple,

F (r, θ) = \sqrt{1 + {(z_{y}^{^{'}})}^{2}} = segundo β = \frac{b}{a}

$f(r,\theta)=\sqrt{1+\left(z_y^{’}\right)^2}=\sec\beta= \frac{b}{a}$

El área de la elipse se convierte en

\begin{matrix} (1) & S = \int_{0}^{a} \frac{2 π b}{a} r d r \end{matrix}

$S=\int_0^a \frac{2\pi b}{a}rdr \tag{1}$

Como se ve, el área de los anillos de elipse que llenan toda la elipse se escala como $2\pi r(b/a)$ . Esto también puede verse de manera equivalente como la 'circunferencia' de cada anillo de elipse.

Como era de esperar, la integral de superficie (1) produce

S = π a b

$S=\pi ab$

cristian blatter · Answer 2

Puedes usar el mapa

gramo : (t, θ) \mapsto {\begin{aligned} X & = a t porque θ \\ y & = b t pecado θ \end{aligned} (0 \leq t \leq 1, 0 \leq θ \leq 2 π)

$g:\quad(t,\theta)\mapsto\left\{\eqalign{x&=a\, t\cos\theta \cr y&= b\, t\sin\theta\cr}\right.\qquad(0\leq t\leq 1, \ 0\leq\theta\leq 2\pi)$ como parametrización del disco elíptico

E

$E$ . para constante

t

$t$ obtienes elipses más pequeñas incrustadas en

E

$E$ , y para constante

θ

$\theta$ obtienes rayos de

(0, 0)

$(0,0)$ a la elipse límite dada. Para calcular el área de

E

$E$ necesitas el jacobiano

j_{gramo} (t, θ) = det [\begin{matrix} X_{t} & X_{θ} \\ y_{t} & y_{θ} \end{matrix}] = a b t

$J_g(t,\theta)=\det\left[\matrix{x_t&x_\theta\cr y_t&y_\theta\cr}\right]= ab\, t$ y luego obtener

a r mi a (mi) = \int_{mi} 1 d (X, y) = \int_{\hat{mi}} 1 | j_{gramo} (t, θ) | d (t, θ) = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} a b t d t d θ = π a b .

${\rm area}(E)=\int_E 1\>{\rm d}(x,y)=\int_{\hat E}1\>\bigl|J_g(t,\theta)\bigr|\>{\rm d}(t,\theta)=\int_0^{2\pi}\int_0^1 ab\>t\>dt\>d\theta=\pi a b\ .$

Integre la circunferencia de una elipse para encontrar el área

Adán Kiddle

david k

Respuestas (2)

cuanto

cristian blatter

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