¿Por qué la entropía es una propiedad extensiva?

Existe cierta ambigüedad en cómo se define la entropía en termodinámica/estadística. física, como, por ejemplo, discutida en esta respuesta . Para tomar las dos definiciones más comunes:

• En termodinámica, la entropía se define fenomenológicamente como una cantidad extensiva que aumenta con el tiempo, por lo que es extensiva por definición.
• En física estadística, la entropía se define como un logaritmo del número de microestados. Así, si tenemos dos sistemas con números de microestados$\Omega_1$y$\Omega_2$, el número total de mcirostates es$\Omega_1\Omega_2$, mientras que su logaritmo es aditivo: $$S=k_B\log(\Omega_1\Omega_2) = k_B\log(\Omega_1) + k_B\log(\Omega_2) = S_1 + S_2$$ Puede notar que aquí nuevamente descuidamos la interacción entre los dos sistemas, como discutimos en relación con su otra pregunta .

Digamos que una partícula puede estar en uno de$\Omega_1$estados Entonces dos partículas pueden estar en$\Omega_2 = \Omega_1^2$(porque la partícula 1 puede estar en uno de$\Omega_1$estados, y la partícula 2 puede estar en uno de$\Omega_1$estados). Siguiendo esta lógica,$N$Las partículas pueden estar en

Desde el punto de vista de la termodinámica clásica, a partir de la primera ley,

Si entiendo bien tu pregunta, estás preguntando:

1. Usted define la entropía como$S=\int\frac{\delta Q}{T}$.
2. Claramente,$T$es una cantidad intensiva, como lo es$\frac{1}{T}$.
3. Si$\delta Q$es extenso, entonces también lo es$\frac{\delta Q}{T}$, ya que un producto de una cantidad intensiva y extensiva es extensivo.
4. Entonces, si$\delta Q$es extenso , entonces$\int\frac{\delta Q}{T}$, siendo una suma de cantidades extensivas, es extensiva.
5. Pero no ves por qué$\delta Q$debe ser extenso. Después de todo, cuando colocamos un bloque de metal caliente en un lugar frío, el calor se emite desde la superficie; hay al menos un retraso a la velocidad de la luz hasta que el interior "sabe" que el exterior se está enfriando.

Creo que esto es algo definitorio. Si tiene una losa de metal, un lado del cual está frío y el otro está caliente, entonces :

• Su sistema no está en equilibrio termodinámico (interno), por lo que la entropía no está definida, o
• Realmente quiere decir que tiene dos losas de metal adyacentes, una fría y otra caliente (pero por lo demás indistinguibles, por lo que las confundimos con una sola losa).

Pero luego esperamos que dos losas a diferentes temperaturas tengan diferentes estados termodinámicos. Así que una gran cantidad diferirá entre los dos.

Más generalmente,

1. Supongamos un sistema$S$se compone de componentes idénticos. (Estos componentes pueden tener subcomponentes distinguibles; por lo tanto, podríamos describir una solución de ácido sulfúrico como una colección de gotas de fluido (los componentes), cada gota contiene algo de agua y algo de oleum (los subcomponentes).) Estos no son microestados mecánicos estadísticos ; deben ser lo suficientemente grandes para que se aplique el límite termodinámico.
2. $S$experimentará algún proceso termodinámico.
3. Por conservación de la energía, $$\delta Q_S=\sum_{s\in S}{\delta Q_s}\tag{1}$$ (Esto también es algo definitorio: supongamos que el componente$s$emite algo de calor, pero luego ese calor se convirtió en trabajo "a medida que viaja" hacia el exterior, en componente$t$. Entonces lo llamaríamos "$t$haciendo trabajo" en su lugar.)
4. $S$está en equilibrio termodinámico si y cada componente de$S$es indistinguible. (Esta es la definición de equilibrio termodinámico para sistemas compuestos).
5. En particular, todos$s$comienzo y final indistinguibles, ya que$S$comienza y termina en el equilibrio. (Esta es la definición de un proceso termodinámico).
6. Así, la energía interna al principio y al final son ambas independientes de$s$.
7. restando,$dU_s$es independiente de$s$.
8. Del mismo modo, si los componentes realizaron diferentes cantidades$\delta W_s$de trabajo en el exterior, entonces podríamos "mejorar" nuestro proceso para que los separe. ¡Pero eso claramente no dejará los componentes separados indistinguibles!
9. Entonces$dU_s$y$\delta W_s$son independientes de$s$.
10. restando,$\delta Q_s$es independiente de$s$(por la Primera Ley).
11. Sustituyendo en (1) y eligiendo cualquier fijo$s_0$por el valor común, $$\delta Q_S=(\delta Q_{s_0})(\# S)$$ que es claramente extenso.

Extensiva significa una cantidad física cuya magnitud es aditiva para los subsistemas .

El estado de cualquier sistema se define físicamente por cuatro parámetros,$p$presión,$T$temperatura,$V$volumen, y$n$cantidad (moles, podría ser el número de partículas o la masa). Existe una ecuación física de estado para cualquier sistema, por lo que solo tres de los cuatro parámetros físicos son independientes.

Una función de estado (o propiedad de estado) es la misma para cualquier sistema con los mismos valores de$p, T, V$.

Definir$P_s$como una función de estado (propiedad) para un sistema en un conjunto dado de$p, T, V$. Dado que es una función (o propiedad) para un sistema específico, debemos determinar si es extensiva (definida como se indicó anteriormente) o intensiva para el sistema. intensivo significa que$P_s$es una cantidad física cuya magnitud es independiente de la extensión del sistema . Asumir que$P_s$se define como no extensiva. Probemos que esto significa que es intensivo. Tome dos sistemas con la misma sustancia en el mismo estado$p, T, V$. Deben tener el mismo$P_s$por definición. Combina esos dos sistemas. Desde$P_s$se define como no extensivo, el total$P_s$no es la suma de los dos valores de$P_s$. Dado que el sistema combinado es al mismo$p, T$como sus dos subsistemas iniciales, la combinación debe ser al mismo nivel intensivo$P_s$como los dos subsistemas. Por lo tanto$P_s$es intensivo por definición.

Desde$P_s$es intensiva, podemos definir correspondientemente una función de estado extensiva o propiedad de estado$P'_s = nP_s$. la funcion de estado$P'_s$dependerá de la extensión (volumen) del sistema, por lo que no será intensivo. la funcion de estado$P'_s$será aditivo para los subsistemas, por lo que será extensivo.

Para cualquier función de estado$U, S, H, G, A$, podemos optar por considerarlo en la forma intensiva$P_s$o en forma extensiva$P'_s$. No tenemos necesidad de probar nada específico a cualquiera de las propiedades/funciones mismas. Leyendo entre líneas su pregunta, vea aquí a continuación cuando pretendía preguntar cómo probar que la entropía es una función de estado utilizando la termodinámica clásica .