Sí, la matriz de densidad reconcilia todos los aspectos cuánticos de las probabilidades con el aspecto clásico de las probabilidades, de modo que estas dos "partes" ya no pueden separarse de forma invariable.

Como dice el OP en la discusión, la misma matriz de densidad se puede preparar de muchas maneras. Uno de ellos puede parecer más "clásico", por ejemplo, el método que sigue la diagonalización simple de la ecuación 1, y otro puede parecer más cuántico, dependiendo de los estados que no son ortogonales y/o interfieren entre sí, como las ecuaciones 2.

Pero todas las predicciones pueden escribirse en términos de la matriz de densidad. Por ejemplo, la probabilidad de que observemos la propiedad dada por el operador de proyección$P_B$es

$${\rm Prob}_B = {\rm Tr}(\rho P_B)$$ Así que cualquier procedimiento producido $P_B$siempre producirá las mismas probabilidades para cualquier cosa.

A diferencia de otros usuarios, creo que esta observación del OP tiene un contenido no trivial, al menos a nivel filosófico. En cierto sentido, implica que la matriz de densidad con su interpretación probabilística debe interpretarse exactamente de la misma manera que la función de distribución del espacio de fase en la física estadística, y la "porción cuántica" de las probabilidades surge inevitablemente de esta generalización porque las matrices no viajen entre sí.

Otra forma de expresar la misma interpretación: en la física clásica, todos están de acuerdo en que podemos tener un conocimiento incompleto sobre un sistema físico y usar la distribución de probabilidad del espacio de fases para cuantificarlo. Ahora, si también estamos de acuerdo en que las probabilidades de diferentes estados mutuamente excluyentes (estados propios de la matriz de densidad) pueden calcularse como valores propios de la matriz de densidad, y si asumimos que hay una fórmula uniforme para las probabilidades de algunas propiedades, entonces también se sigue que incluso los estados puros, cuyas matrices de densidad tienen valores propios$1,0,0,0,\dots$– debe implicar predicciones probabilísticas para la mayoría de las cantidades. Excepto por el conmutador distinto de cero de los observables o las matrices, las probabilidades cuánticas relacionadas con la interferencia no son diferentes ni "más raras" que las probabilidades clásicas relacionadas con el conocimiento incompleto.

Veamos un ejemplo concreto y famoso: la luz perfectamente no polarizada.

Alice crea luz no polarizada mezclando aleatoriamente (incoherentemente) luz polarizada circular izquierda con una intensidad igual de luz polarizada circular derecha.

Bob crea luz no polarizada mezclando aleatoriamente (incoherentemente) luz polarizada verticalmente con una intensidad igual de luz polarizada horizontalmente.

No existe una medida que te diga qué luz es la de Alice y cuál la de Bob.

¿La luz de Alice es fundamentalmente la misma que la de Bob, o son diferentes tipos de luz que son imposibles de diferenciar ?

Bueno, uno no debería darle demasiada importancia a este tipo de preguntas. Pero si tuviera que elegir, diría que son diferentes tipos de luz, porque el clásico proceso de mezcla incoherente deja un rastro de información que es suficiente para diferenciar los dos haces (aunque es posible que no tenga esa información correcta). ahora en la práctica).

Por ejemplo, tal vez Alice y Bob estén combinando dos rayos láser diferentes con frecuencias ligeramente diferentes (y que fluctúan aleatoriamente). (Esta es una forma legítima de agregar incoherentemente dos haces de luz en la práctica). Si no tengo un espectrómetro muy elegante, puedo describir todas mis medidas posibles diciendo que estos son haces no polarizados. Pero si tengo un espectrómetro rápido y de alta resolución, puedo averiguar qué haz es el de Alice y cuál el de Bob.

Este es un ejemplo de una verdad más amplia: las probabilidades clásicas dependen más de la situación que las probabilidades cuánticas. Específicamente: si dos personas piensan que una partícula está en estado puro, siempre estarán de acuerdo en qué estado está y, por lo tanto, estarán de acuerdo en la distribución de probabilidad para cualquier medida posible de esa partícula. Pero si dos personas piensan que una partícula está en un estado mixto, a menudo no estarán de acuerdo sobre en qué estado mixto se encuentra, porque pueden tener diferentes conocimientos auxiliares, lo que los lleva a asignar diferentes probabilidades clásicas. (Por ejemplo, tal vez la partícula sea una de un par EPR y se haya medido su gemelo, pero solo uno de los observadores conoce el resultado de la medición).

Pero, dado un estado de "mi conocimiento en este momento", no hay forma de trazar una línea entre las probabilidades clásicas y las probabilidades cuánticas, ¡y no hay razón para hacerlo!

Proporcionaré una respuesta pero desde una perspectiva diferente y espero convencerlo de que hay información en una matriz de densidad que no tiene una contraparte clásica. Además, esto puede considerarse un componente cuántico, y se puede demostrar que esta información se almacena como los vectores propios de$\rho$.

Daré un ejemplo de cómo esto se manifiesta. La información del pescador$I(\theta)$es una estadística de la teoría clásica de la probabilidad que caracteriza la rapidez con la que uno puede aprender acerca de un parámetro$\theta$que caracteriza una distribución de probabilidad$p(\theta)$.

Específicamente la varianza de un estimador clásico insesgado$\hat{\theta}$respeta el límite de Cramer Rao

$$\mathrm{var}(\hat{\theta})\geq \frac{1}{I(\theta)}$$

La aditividad de la información significa que si muestrea la distribución$n$veces, recolectando medidas cada vez que el error esperado$\Delta \theta_c = \sqrt{\mathrm{var}(\hat{\theta})}$de cualquier estimador va como

$$\Delta \theta_c \propto \frac1{\sqrt{n}}$$

Esto se reconoce en la escala de la desviación estándar$\sigma$en cosas como el teorema del límite central.

Podemos definir un análogo cuántico, a la información del pescador$J(\theta)$que satisface un límite análogo, conocido como el límite Quantum Cramer Rao.

Sin embargo, se encuentra que al permitir el enredo entre eventos de muestreo clásicamente independientes, el límite es mucho mejor. Y después de haber recopilado un conjunto de datos de$n$mediciones, el mejor estimador cuántico posible está limitado solo por el error

$$\Delta \theta_q \propto \frac1{n}$$ .

Esto muestra que un estado cuántico general$\rho$definitivamente puede soportar estadísticas que una distribución de probabilidad clásica no puede.

La información cuántica de Fisher de una matriz de densidad que depende de un parámetro$\theta$

$$\rho(\theta) = \sum_i p_i(\theta) |\psi_i(\theta)\rangle\langle\psi_i(\theta)|$$ se puede ver que se separa en varias contribuciones, una de las cuales es la información clásica de Fisher del espectro $p_i(\theta)$, otro de los cuales es un término similar a Fubini-Study que da cuenta de la información almacenada en la base $|\psi_i(\theta)\rangle$. La posibilidad de escalamiento cuántico (superclásico) depende completamente de la existencia de este término cuántico.

Dicho de manera alternativa, en términos del comportamiento de la estadística de información de Fisher y sus análogos cuánticos, una matriz de densidad$\rho$admite un comportamiento no clásico solo si la base se establece$|\psi_i(\theta)\rangle$contiene información relevante para la medición, y en este sentido, la información almacenada de esta manera puede considerarse no clásica.

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Cosas útiles

Si está interesado en algunos de los temas discutidos aquí, consulte esta buena revisión para obtener una explicación. http://arxiv.org/pdf/1102.2318v1.pdf

Esto para una explicación accesible pero matemática del QFI. http://arxiv.org/pdf/0804.2981.pdf

Sé que dijo que no está interesado en el caso en que el estado mixto se obtuvo a través de un rastro parcial de un sistema compuesto, pero también hay cosas interesantes que decir en ese contexto, que están relacionadas con esta discusión.

Considere este experimento mental: le doy dos qubits, A y B. He medido el qubit A a lo largo del$z$-eje, pero no te he dicho el resultado de mi medición. Qubit B está entrelazado como un par de Bell con un tercer qubit al que no tiene acceso. ¿Son los dos qubits "equivalentes"?

La respuesta depende de tu interpretación de la mecánica cuántica. Alguien que se suscriba a una interpretación realista, una interpretación epistémica y la interpretación de muchos mundos respondería de manera diferente. (La interpretación de muchos mundos generalmente se clasifica como realista, pero para el propósito de esta pregunta es más claro separarla. Todos estarían de acuerdo con los resultados de todos los experimentos físicos, pero solo estarían en desacuerdo con las palabras correctas para describirlos).

Ralph el realista, que se suscribe a una interpretación realista (no de muchos mundos), diría que dado que he medido el qubit A a lo largo del$z$-eje, definitivamente está en estado puro$|\uparrow\rangle$o el estado puro$|\downarrow\rangle$por el postulado de medida de la mecánica cuántica. No sabe qué estado puro, por lo que debe describir el sistema con una matriz de densidad mixta máxima, pero la incertidumbre es puramente clásica y simplemente refleja su ignorancia clásica de lo que medí. Qubit B, por otro lado, está entrelazado con otro qubit, por lo que se describe como reducidomatriz de densidad, y el origen de la incertidumbre en su estado es fundamentalmente mecánico-cuántico. Ralph diría que, por lo tanto, el Qubit A se encuentra en un estado puro desconocido, mientras que el Qubit B se encuentra en un estado mixto. Los filósofos de la física dicen que el qubit A es una "mezcla adecuada" porque su naturaleza probabilística proviene de la ignorancia clásica, y el qubit B es una "mezcla impropia" porque está descrito por una matriz de densidad reducida y su naturaleza probabilística proviene del entrelazamiento cuántico. Al establecer esta distinción, afirman implícitamente que la incertidumbre clásica y la cuántica son filosóficamente distintas, incluso si no pueden distinguirse empíricamente, como usted señala.

Eva la epistemista, que se suscribe a una interpretación epistémica, diría que dado que no existe un cálculo o medida física que pueda distinguir la incertidumbre clásica de la cuántica, no hay razón para considerarlas filosóficamente distintas, y que la supuesta distinción entre mezclas propias e impropias no en realidad existe. Ella diría que ambos qubits "realmente están" en el mismo estado de mezcla máxima, no solo que son equivalentes desde su perspectiva. Este punto de vista es atractivo desde un punto de vista positivista lógico, pero conduce a la implicación posiblemente contraria a la intuición de que la pureza de un sistema físico es subjetiva y depende de su "conocimiento previo": describiría el qubit A como si estuviera en un estado puro, descríbalo como estar en un estado mixto, y ambos estaríamos en lo correcto.

Minerva, la habitante de muchos mundos, que se suscribe a la interpretación de muchos mundos, diría que (suponiendo que no apuntara ya en paralelo a la$z$-eje antes de la medición) el qubit A está en un estado mixto, ¡pero que yo también estoy en un estado mixto porque lo medí! Qubit A y yo estamos juntos en una superposición coherente de haber medido "arriba" o "abajo" (aunque se descoherirá rápidamente a medida que el entrelazamiento se extienda más), por lo que qubit A y yo estamos individualmente en un estado mixto. Minerva estaría de acuerdo con Ralph en que existe una diferencia fundamental entre la incertidumbre clásica y la cuántica, pero estaría de acuerdo con Eva en que ambos qubits están exactamente en el mismo estado mixto. Sin embargo, a diferencia de Eva, que niega la existencia de una distinción entre mezclas propias e impropias, Minerva diría que ambos qubits están en mezclas impropias (idénticas).