¿Qué nos dice que el operador de densidad sea el mismo para dos sistemas?

El resultado de medir un observable$O$en un sistema descrito por un operador de densidad$\rho$es dado por$\mathrm{tr}[O\rho]$. Así, si dos sistemas son descritos por el mismo operador de densidad, no pueden ser distinguidos por ninguna medida, es decir, describen el mismo estado. Entonces, si esos operadores de densidad codifican todo lo que sabe sobre los dos estados, entonces estos dos estados son idénticos para usted.

Por supuesto, si alguien preparó el estado$\rho$de una manera específica (p. ej., preparando aleatoriamente un estado específico de un conjunto), entonces dos estados que, desde su perspectiva, son descritos por el mismo operador de densidad podrían ser diferentes para esa persona.

Como dijo @ Phoenix87, debe reclamar cuál es el significado de systemsu pregunta. Si no me he perdido algo.

el sistema es uno de los estados$|ψ_i⟩$pero no sabemos cuál.

Aquí los systemmedios el sistema de una determinada partícula y una determinada partícula estarán en un estado puro$|ψ_i⟩$pero no sabemos cuál.

dos sistemas$S_1$y$S_2$y ambos están definidos por el mismo operador de densidad dado por$\rho$.

Aquí systemsignifica el sistema de muchas (quizás infinitas) partículas que pueden estar en estado puro.$|ψ_i⟩$pero no sabemos cuál. Lo que sabemos es que la ley estadística obedecen estas partículas. y dos sistemas$S_1$y$S_2$son idénticos significa que tienen la misma ley estadística.