Así que hice dos cursos de mecánica cuántica de pregrado, el primero comenzó con la mecánica ondulatoria y luego pasó a sujetadores y kets, el segundo curso entró en más detalles sobre sujetadores, kets, espacios de hilbert, etc. mecánica hacia el final). Pero cerca del final del segundo curso, también entraron en operadores/matrices de densidad.
Se presentaron como otra capa de abstracción sobre el espacio de Hilbert más fundamental, una herramienta conveniente cuando se trata de conjuntos estadísticos clásicos de estados puros.
Sin embargo, al leer el libro de texto y otras fuentes, lo he visto descrito como más fundamental que los estados puros, una descripción natural de subsistemas de sistemas entrelazados más grandes, y que tiene la propiedad muy sugerente y atractiva de que existe una correspondencia uno a uno. entre estados y operadores, a diferencia del formalismo del espacio de hilbert donde la correspondencia es solo hasta un factor de fase.
Entonces, ¿existe una descripción de la mecánica cuántica que tome a los operadores de densidad como los objetos fundamentales, de la misma manera que el formalismo de soporte comienza con los rayos de un espacio complejo? Si es así, ¿cómo se ve, por qué no se enseña QM en términos de operadores de densidad y dónde puedo encontrar recursos para estudiarlo? Además, generalmente escuché que es más incómodo trabajar con sostenes y kets, ¿por qué?
Finalmente, si estamos representando estados por operadores y tratando los estados puros como casos especiales de operadores de densidad, ¿en qué están operando? ¿O es simplemente otro caso de representación de objetos matemáticos abstractos como operadores por conveniencia, y no tiene sentido preguntar sobre qué operan?
En la mecánica cuántica, los objetos fundamentales nunca pueden ser estados (como las matrices de densidad). Los objetos fundamentales son siempre observables .
Esto se debe a la no conmutatividad: contrariamente a las teorías de probabilidad clásicas, donde hay un espacio de eventos (un conjunto junto con un -álgebra de subconjuntos medibles, los eventos), también llamado universo (en el sentido de teoría de la probabilidad), en teorías de probabilidad no conmutativas como la mecánica cuántica no existe un universo probabilístico, sino una colección de variables aleatorias no conmutativas (los observables), y la teoría se construye a partir de esta colección (es un C*-álgebra, matemáticamente hablando).
Por lo tanto, cualquier formulación matemática sensata de un sistema mecánico cuántico como teoría de la probabilidad no conmutativa debería tomar como punto de partida el álgebra C* de observables del sistema. Los estados correspondientes (probabilidades no conmutativas), y en particular los estados normales con una representación dada del álgebra (matrices de densidad), son un "objeto derivado": se obtienen por dualidad en el álgebra de observables.
Permítanme señalar también que la mecánica cuántica se puede estudiar de una manera muy abstracta (y en mi opinión reveladora) estudiando las propiedades de las C*-álgebras. De hecho, muchas características interesantes y bien conocidas de la mecánica cuántica, como el hecho de que los observables son operadores que actúan sobre espacios de Hilbert, la diferencia entre estados puros y mixtos, la existencia de representaciones no equivalentes del álgebra de relaciones canónicas de conmutación en QFT, y muchos otros están muy bien entendidos y explicados en el lenguaje (y usando las propiedades abstractas) de álgebras de operadores.
Stéphane Rollandin
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Lucas