¿Cuáles son los modelos matemáticos de fuerza, aceleración y velocidad?

Question

¿Cuáles son los modelos matemáticos de fuerza, aceleración y velocidad?

Física
campos vectoriales
mecanica clasica
análisis dimensional
geometría diferencial

elflyao

En mecánica, el espacio puede describirse como una variedad de Riemann. Entonces, las fuerzas pueden definirse como campos vectoriales de esta variedad. Las aceleraciones son funciones lineales de las fuerzas, por lo que son campos covectoriales. Pero, ¿qué pasa con las velocidades y muchos otros tipos de vectores?
Por supuesto, las velocidades no son fuerzas, por lo que no creo que sea correcto reutilizar los campos vectoriales de esta variedad. Pero, ¿significa esto que esta variedad tiene muchos espacios tangentes diferentes en cada punto?
Esto suena muy extraño para mí. Creo que el problema es que los modelos matemáticos no tienen unidades físicas, ¿tal vez de alguna manera podamos crear una variedad ordenada para acomodar unidades?

una mente curiosa

"En mecánica, el espacio puede describirse como una variedad de Riemann". ...Bueno eso depende. La mecánica hamiltoniana generalmente describe el sistema físico como variedades simplécticas . Además, pregunta relacionada: ¿ la fuerza es un vector covariante o contravariante?

jerry schirmer

Responder esto claramente requerirá un poco más de lo que está proporcionando. ¿Estamos hablando de una mecánica newtoniana en un espacio no necesariamente euclidiano? ¿Estamos permitiendo aquí una dinámica relativista? ¿Estamos haciendo dinámica relativista, pero asumiendo que la métrica se puede descomponer en algún tipo de

- d t^{2} + f (t) g_{i j} d x^{i} d x^{j}

$-dt^{2} + f(t)g_{ij}dx^{i}dx^{j}$ ? ¿Es esto siquiera un espacio métrico? Esto suena como un montón de quejas técnicas, pero la respuesta en realidad es diferente en todos estos casos.

Respuestas (2)

¿Cuáles son los modelos matemáticos de fuerza, aceleración y velocidad?

"En mecánica, el espacio puede describirse como una variedad de Riemann". ...Bueno eso depende. La mecánica hamiltoniana generalmente describe el sistema físico como variedades simplécticas . Además, pregunta relacionada: ¿ la fuerza es un vector covariante o contravariante?
Responder esto claramente requerirá un poco más de lo que está proporcionando. ¿Estamos hablando de una mecánica newtoniana en un espacio no necesariamente euclidiano? ¿Estamos permitiendo aquí una dinámica relativista? ¿Estamos haciendo dinámica relativista, pero asumiendo que la métrica se puede descomponer en algún tipo de $-dt^{2} + f(t)g_{ij}dx^{i}dx^{j}$ ? ¿Es esto siquiera un espacio métrico? Esto suena como un montón de quejas técnicas, pero la respuesta en realidad es diferente en todos estos casos.

Juan Alexiou · Answer 1

Las velocidades y las aceleraciones espaciales son giros y las fuerzas y los momentos son torceduras . Ambos son tornillos (dos vectores) con un vector libre y el otro un campo espacial. Todos ellos se transforman con las mismas leyes y sus interacciones tienen muchas propiedades duales.

_{NOTA: Consulte "Un tratado sobre la teoría de los tornillos", Stawell R Ball, https://archive.org/details/theoryscrews00ballrich}

foto1

El tensor de proporcionalidad que transforma los giros en torsiones es la matriz de masa espacial de 6×6 que convierte el movimiento en impulso y la aceleración en fuerzas.

Por ejemplo, a continuación, estoy componiendo un giro de velocidad y una llave de impulso. ¿Ves las similitudes?

\begin{aligned} \hat{v} & = (\begin{matrix} ω \\ r \times ω \end{matrix}) & \hat{pag} & = (\begin{matrix} pag \\ r \times pag \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{aligned} {\hat v} &= \begin{pmatrix} {\bf \omega} \\{\bf r} \times {\bf \omega} \end{pmatrix} & {\hat p} &= \begin{pmatrix} {\bf p} \\{\bf r} \times {\bf p} \end{pmatrix}\end{aligned}$

gentil · Answer 2

En mecánica clásica, un sistema se describe mediante un Lagrangiano $\mathscr{L}\colon TQ\to \mathbb{R}$ , con $Q$ siendo el espacio de configuración y $TQ$ su haz tangente, es decir, la unión sobre $q\in Q$ de todos los espacios tangentes $T_qQ$ : $TQ = \cup_q T_qQ$ . Un gráfico local en $Q$ parece $(q_1, \ldots, q_n)$ , el $q_k$ siendo los grados de libertad del sistema. El lagrangiano es entonces $\mathscr{L}\equiv\mathscr{L}\big(q(t), v(t)\big)$ y las ecuaciones de movimiento son:

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial v^{m}} - \frac{\partial L}{\partial q^{m}} = 0.

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial v^{\mu}} - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q^{\mu}}=0.$ La solución es una colección de

(q^{μ} (t), v^{μ} (t))

$\big(q^{\mu}(t), v^{\mu}(t)\big)$ que viven en

T Q

$TQ$ ; si hacemos el requisito adicional de que, en esas soluciones,

v = \dot{q}

$v=\dot{q}$ , entonces el camino en

T Q

$TQ$ se proyecta de manera única en un camino en

Q

$Q$ , cuyo flujo viene dado por los campos de velocidad.

Para responder directamente a sus preguntas:

Entonces, las fuerzas pueden definirse como campos vectoriales de esta variedad. Las aceleraciones son funciones lineales de las fuerzas, por lo que son campos covectoriales. Pero, ¿qué pasa con las velocidades y muchos otros tipos de vectores?

Equivocado. Las posiciones y velocidades son coordenadas de cartas locales $\phi$ del haz tangente $\phi\colon U\subset TQ\to\mathbb{R}$ : como tales, se transforman contravariantemente. Las fuerzas, en el formalismo anterior, están relacionadas con los momentos conjugados $p_{\mu}=\partial\mathscr{L}/\partial{v^{\mu}}$ y por lo tanto transformar covariante, con la matriz inversa.

Por supuesto, las velocidades no son fuerzas, por lo que no creo que sea correcto reutilizar los campos vectoriales de esta variedad. Pero, ¿significa esto que esta variedad tiene muchos espacios tangentes diferentes en cada punto?

Véase más arriba. Además, las variedades solo tienen un espacio tangente en cada punto, definido como el conjunto de todas las derivadas direccionales calculadas en ese punto.

Creo que el problema es que los modelos matemáticos no tienen unidades físicas, ¿tal vez de alguna manera podamos crear una variedad ordenada para acomodar unidades?

Eso no tiene absolutamente nada que ver con las unidades.

¿Cuáles son los modelos matemáticos de fuerza, aceleración y velocidad?

elflyao

una mente curiosa

jerry schirmer

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Juan Alexiou

gentil

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