¿Qué es "la escala en la que se define una teoría"?

Pregunta 1

El flujo RG no trivial es el resultado de la ruptura explícita de la invariancia de escala de la teoría clásica en la teoría cuántica de campos correspondiente. Si no hay parámetros dimensionales en el lagrangiano clásico de la teoría correspondiente (la generalización sobre la presencia de masas es sencilla, pero no es relevante aquí), ingenuamente esperamos que después de la transformación de escala,

$$\Phi (x) \to e^{\sigma \epsilon}\Phi (e^{\epsilon}x), \quad x \to e^{\epsilon}x,$$ con $\sigma$siendo la dimensión canónica de $\Phi$campo y $\epsilon$siendo el parámetro continuo de transformación, la acción no cambiará. La simetría correspondiente define la ley de conservación de la corriente de dilatación: $$\partial_{\mu}D^{\mu} =0$$ Esta ley ingenua se rompe por completo con los infinitos de QFT (dicha ruptura se denomina anomalía de traza), por lo que la regularización entra en juego. Es decir, introducimos el parámetro dimensional a mano, y el lagrangiano inicial libre de parámetros dimensionales comienza a contener el uno, llamado $\mu$. Dado que es dimensional, se llama la escala de la teoría. Sin embargo, no es físico, y no podemos decir que es la escala en la que se define la teoría: por ejemplo, podemos elegirlo para que coincida con el cuadrado del momento de transferencia, pero es solo una correspondencia formal que depende de nuestro desear.

En general, debido a la presencia de escala, la ley de conservación de la corriente de dilatación se ve modificada por correcciones cuánticas. Por ejemplo, para QED sin masa

$$\partial_{\mu}D^{\mu} \sim \beta (\alpha)F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}, \quad \alpha \equiv \frac{e^{2}}{4 \pi}$$ Esto conduce a un comportamiento no trivial de los parámetros lagrangianos (como acoplamientos) con cambios de $\mu$.

¿Qué pasa con tu pregunta?$\mu$como la escala en la que se define la teoría ? La respuesta son los fenómenos de transmutación dimensional, que ocurren debido a la ruptura de la invariancia de escala descrita anteriormente. Precisamente, resolviendo la ecuación RG (aquí$\alpha$es el acoplamiento de funcionamiento)

$$\mu\frac{d\alpha}{d\mu} = \beta (\alpha (\mu))$$ obtenemos que $$\alpha (\mu) = f(\mu , \mu_{0}, \alpha (\mu_{0}))$$ Podemos invertir esta relación y usar un parámetro dimensional $\mu_{0}$en lugar de $\alpha$en la teoría de la perturbación (y esto es lo que la gente llama la transmutación dimensional). Dicho parámetro es realmente una escala física: define un conjunto de parámetros teóricos. Por ejemplo, para QCD define la escala de acoplamiento fuerte, que está estrechamente relacionada con la escala de confinamiento y ruptura de simetría quiral. $\Lambda_{QCD}$. Este último determina la escala en la que funciona la teoría efectiva que describe las interacciones de los hadrones.

Pregunta 2

1. Observaciones generales

El esquema de renormalización define con precisión las constantes de renormalización, incluida su parte finita. En general, las constantes de renormalización se dan como (por ejemplo, para la regularización dimensional)

$$\tag 0 Z_{i} = a_{i} + \sum_{j = 1}\frac{c^{(i)}_{j}}{\epsilon^{j}},$$ Tenemos la libertad de elegir. $a_{i}$, mientras $c^{(i)}_{j}$están completamente fijados por la estructura de infinitos en teoría. El grupo de renormalización establece que la dependencia del esquema de los observables físicos está ausente.

Su pregunta es la siguiente: supongamos que tenemos un esquema de renormalización específico para el cual el parámetro de escala$\mu$no afecta los parámetros de la teoría - en particular, el parámetro de masa, que está fijado por el polo del propagador - ¿por qué introducimos el otro esquema, para el cual la masa se vuelve a ejecutar y las ecuaciones RG entran en juego?

El esquema de renormalización específico se denomina esquema en capa, mientras que el esquema conveniente con la precencia de la escala en la expresión de la masa se denomina resta mínima. ¿Entonces cuál es el punto?

2. Esquema de renormalización en el caparazón: limitaciones

Supongamos que utiliza un esquema de renormalización en el shell. Para este esquema$a_{i}$no es cero, y está fijado únicamente por condiciones específicas.

Supongamos el caso más simple: teoría escalar con autointeracción, y concentrémonos en la renormalización masiva. Después de calcular la energía propia manteniendo este esquema, tiene que el propagador es

$$D^{-1}(p^{2}) = p^{2} - m_{\text{pole}}^{2} - \Sigma (p^{2}),$$ dónde $m_{\text{pole}}$es la masa física, para la cual $$\tag 1 D^{-1}(m_{\text{pole}}^{2}) = 0$$ (ya que es observable que no depende de la $\mu$escala), y $\Sigma (p^{2})$es autoenergía. ecuación $(1)$lee explícitamente $$\tag 2 \Sigma (p^{2} = m_{\text{pole}}^{2}) = 0$$ Además, el requisito de que el propagador tenga el residuo unitario lleva a afirmar que $$\tag 3 \left(\frac{d\Sigma (p^{2})}{dp^{2}}\right)_{p^{2} = m_{\text{pole}}^{2}} = 0$$ Esta condición, permítanme recordar, de hecho no es más que el requisito de que el propagador corresponda al estado de una partícula.

Tenga en cuenta dos cosas sobre$\Sigma (p^{2})$en esquema on-shell. La primera es que no depende de la escala.$\mu$desde la masa$m_{\text{pole}}$es de hecho independiente de la escala, y este resultado, por supuesto, es independiente del esquema de regularización . La segunda es que la condición$(3)$no se puede satisfacer en el límite de$m_{\text{pole}}^{2} = 0$, ya que en la representación límite sin masa de Callen-Lemman del propagador (que simplemente une el polo de la función de Green con el estado de una partícula) no contiene un polo aislado: el estado de una partícula con energía cero no es diferente de muchos- estados de partículas.

No podemos lidiar con este problema sin introducir una escala de regularización$m_{\text{reg}}^{2}$. De hecho, no es físico y, en general, este es el precio por obtener$\mu$-Cantidades independientes de escala en teorías con estados sin masa. Tenga en cuenta que la mayoría de las teorías realistas son aquellas con estados sin masa. Por ejemplo, QED en prescripción on-shell sufre de divergencias IR en la energía propia debido a que la masa de fotones es exactamente cero.

Para evitar tales singularidades, necesitamos cambiar el esquema de renormalización.

3. Extra: el esquema de resta mínima

Para este esquema, todos$a_{i}$s en la ecuación.$(0)$son cero. De modo que, la Ec.$(1)$ahora es

$$D^{-1}(p^{2}) = p^{2} - m^{2} - \Sigma (p^{2}, \alpha , \mu),$$ dónde $\alpha$es el conjunto de otros acoplamientos que están presentes en teoría (aquí son acoplamientos para términos cúbicos, cuárticos).

Para$p^{2} = m_{\text{pole}}^{2}$

$$D^{-1}(m_{\text{pole}}^{2}) = m_{\text{pole}}^{2} - m^{2} - \Sigma (m_{\text{pole}}^{2}(m^{2}, \alpha , \mu), \alpha, \mu) = 0,$$ o en el orden más bajo de la teoría de la perturbación $$m_{\text{pole}}^{2} = m^{2} + \Sigma (m^{2}, \alpha , \mu)$$ En este esquema $\Sigma$depende de $\mu$explícitamente. Pero el $m_{\text{pole}}$no depende de ello, por lo que llegamos a la afirmación de que $m^{2}$y $\alpha$depender de $\mu$.