¿Cuál es la ecuación del peso a través de la relatividad general?

Comience con la métrica de Schwarzschild

$$ds^2 = (1-\frac{r_S}{r})c^2dt^2-(1-\frac{r_S}{r})^{-1}dr^2-r^2d\Omega^2$$ dónde $$r_S=\frac{2GM}{c^2}$$ Una partícula en reposo en el radio $r$y los parámetros angulares cero desde el centro de masa tienen línea de mundo $$x^{\mu}=(t, r, 0, 0)$$ Su velocidad cuatro es por lo tanto $$u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}=((1-\frac{r_S}{r})^{-\frac{1}{2}}, 0, 0, 0)$$ Su cuatro aceleraciones es $$a^{\mu}= \frac{du^{\mu}}{d\tau}+\Gamma^{\mu}_{\alpha \beta}u^{\alpha}u^{\beta}$$ Después de buscar los símbolos de Christoffel, porque soy flojo, me sale $$a^{\mu} = (0, \frac{c^2r_S}{2r^2}, 0, 0)$$ Entonces, la norma de Lorentz al cuadrado de las cuatro aceleraciones es $$g_{\mu \nu}a^{\mu}a^{\nu}= \frac{c^4r_S^2}{4r^4(1-\frac{r_S}{r})}=\frac{G^2M^2}{r^4(1-\frac{2GM}{c^2r})}$$ Ahora bien, la aceleración propia de un objeto en el tiempo t es la aceleración relativa a un observador en caída libre, que está momentáneamente en reposo con respecto al objeto en el tiempo t. El tipo de caída libre es el que no está acelerando - el objeto sostenido en reposo en el radio r es el que está acelerando. Como hemos demostrado, su aceleración es $$\frac{GM}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}}$$ Así que si quieres definir una fuerza, sería $$F=ma=\frac{GMm}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}}$$ Como $c\rightarrow \infty$recuperamos la definición newtoniana, pero nadie se molesta en expresarla en estos términos.

Moralmente hablando, la fórmula todavía se cumple en la relatividad general. Sin embargo, ambos$W$y$g$convertirse en una especie de cantidades obsoletas en la relatividad general, por lo que nunca describiríamos el comportamiento del sistema físico de esta manera.

En relatividad general, la aceleración gravitacional$g$debe reemplazarse cuidadosamente por una cantidad que codifique la conexión de Christoffel para la métrica. La conexión no es un tensor propiamente dicho, por lo que los valores numéricos dependen en gran medida de la elección de las coordenadas. En varias coordenadas, uno podría escribir una ecuación que se parecería a$W=mg$. Sin embargo, al final estaríamos interesados ​​en el movimiento de un objeto, por lo que nos veríamos obligados a reescribir$W$como$ma$en la relatividad general, así como$a$tendría que calcularse a partir de la línea universal del objeto en movimiento, etc.

Del mismo modo, como ya se insinuó en las oraciones anteriores,$W$es algo obsoleto. En relatividad general, es más fácil estudiar la caída libre de los objetos: la gravedad es la única fuerza que actúa en este caso. La caída libre se describe con la condición de que la línea de mundo sea una geodésica,$\delta \tau_{\rm proper} = 0$: el tiempo adecuado a lo largo de la línea del mundo está maximizado (sí, maximizado, no es un error, el signo es inusual debido a la firma de Minkowski). De esta forma, la ley es independiente de la masa del objeto, lo que no sorprende dado el principio de equivalencia subyacente a GR (todos los objetos se ven afectados por el campo gravitatorio en la misma medida).

Si el objeto no se moviera en caída libre, habría que describir las otras fuerzas que actúan sobre el objeto utilizando el lenguaje de la mecánica del continuo, esencialmente la teoría de campos. La relatividad general no describe objetos macroscópicos por "varios números", como posiciones y velocidades. Requiere que describamos la presión, etc. en cada punto de los objetos y estudiemos cómo evoluciona la presión y cómo se ve afectada por la curvatura del espacio-tiempo. Así fórmulas mecánicas del tipo$W=mg$solo son buenos para describir masas puntuales en GR: simplemente son inapropiados para objetos extensos. Y para las masas puntuales, las únicas "fuerzas de larga distancia" que podrían actuar de forma controlable son las fuerzas electromagnéticas. Las fuerzas causadas por el contacto mutuo de los cuerpos requieren que los cuerpos sean macroscópicos, y luego es necesario el uso del formalismo de la teoría de campos de GR.

Para resumir,$W=mg$es un ejemplo del lenguaje obsoleto de la mecánica de Newton y la relatividad general no modifica solo alguna dependencia funcional precisa en ecuaciones similares, que es lo que hace la relatividad especial. Nos obliga a describir los mismos fenómenos utilizando también conceptos diferentes y mucho más generales.